pI. Utiliza la regla de los 5 pasos para calcular la derivada y determina la ecuación de la recta tangente de las siguientes funciones en los puntos indicados. Luego representa gráficamente. 1) () = 2 − 1; = 1 2) () = 2 2 ; = −1 3) () = 2 − 1; = 1
Respuestas
Respuesta:
solución1: Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX.
El eje OX tiene de ecuación y = 0, por tanto m = 0
Igualamos la derivada primera a 0 para hallar los puntos de tangencia
y'= 3x² − 6x − 9; x² − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
Hallamos las segundas coordenadas sustituyendo en la función
x1 = 3 y1 =3³ − 3 ·3² – 9 · 3 + 5 = –22
x2 = −1y2 = (−1)³ − 3 ·(−1)² – 9 · (−1) + 5 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)
solución2: Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f'(x) = 3x²f' (a)= 3a²
Igualamos la derivada primera a la pendiente
3a² = 3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x − 2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1).
solución3: Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
m = tg 45º = 1
f'(x) = 4x³ + 21x² + 26x + 1
Igualamos la derivada primera a la pendiente y resolvemos la ecuación
4x³ + 21x² + 26x +1 = 1
x1 = 0 x2 = −2 x3 = −13/4
las segundas coordenadas se obtienen sustityendo en la función
P(0, 1) Q(−2, 11) R(−13/4, 1621/256)
solucion4: Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
f′(x) = 1 + tg² x f′(0) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º
solucion5: Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
