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Respuesta:
150
Explicación paso a paso:
Escribamos las ecuaciones:
2a + 3b = 60
Queremos saber el máximo valor de ab.
Este es un problema de optimización, lo podemos trabajar con cálculo:
Siendo g(a, b) = 2a + 3b - 60 la función restricción y f(a, b) = ab la función objetivo:
Podemos establecer una relación con los multiplicadores de lagrange:
F(a, b, z) = f(a, b) - z(g(a, b))
F(a, b, z) = ab - z(2a + 3b - 60)
F(a, b, z) = ab - 2az - 3bz + 60z
Derivamos y obtenemos el gradiente de F:
Gradiente de F: (b - 2z, a - 3z, - 2a - 3b + 60), igualamos a cero cada componente para optimizar:
b - 2z = 0
a - 3z = 0
- 2a - 3b + 60 = 0 (Esta última multiplicaré por -1, es más cómodo)
2a + 3b - 60 = 0;
Encontramos una relación entre a, b y z:
b - 2z = 0
-2z = -b
2z = b
z = b/2
a - 3z = 0
-3z = -a
3z = a
z = a/3
Como z = b/2, y z = a/3, puedo igualar z = z, es decir:
b/2 = a/3; y si despejo b, obtengo:
b = 2a/3
Puedo usar este valor de b en la función restricción 2a + 3b - 60 = 0;
2a + 3b - 60 = 0
2a + 3(2a/3) - 60 = 0; y resuelvo:
2a + 2a - 60 = 0
4a = 60
a = 60/4
a = 15; Reemplazo este valor de a en b = 2a/3 para obtener el valor de b:
b = 2a/3
b = 2(15)/3
b = 2(5)
b = 10
Con esto casi hemos terminado; el producto máximo ab es 10(15), es decir: 150