Question

Me podrían decir la respuesta de la integral mediante sustitución trigonometrica de

Answer 1

Hola..!! , Veamos

               INTEGRAL POR SUSTITUCIÓN

El método de integración por sustitución consiste en realizar una cambio de variable con la finalidad de hacer una integral mas simple que la original

$\mathbb{EJEMPLO :}$

                                               $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} +2} }$

$\mathrm{Hacemos \ que :}$

           $\ \ U=\sqrt{x^{2}+2 } \\ \\ dU=\cfrac{x.dx}{\sqrt{x^{2}+2 } }$              $\mathrm{remplazando}$           $\int \frac{U.dU}{x^{2}.U }$

                         $\mathrm{Entonces \ quedaria \ de \ la \ siguiente \ manera}$

                                                   $\int \frac{dU}{x^{2} }$

$\mathrm{Sabemos :} \ x^{2} =U^{2} -2$

               $\mathrm{Remplazando}$            $\int \frac{dU}{U^2-2}$

               $\mathrm{Hacemos \ que \ U=\sqrt{2}.sec(\alpha )}\\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dU=\sqrt{2} .sec(\alpha ).tan(\alpha ).d(\alpha )$

               $\mathrm{Remplazando:}$

                                       $\int \frac{\sqrt{2} sec(\alpha).tan(\alpha).d\alpha }{2tan^2(\alpha) }$

               $\mathrm{Simplificando}:$

                                        $\frac{\sqrt{2} }{2} \int \frac{sec(\alpha) }{tan(\alpha) }.d\alpha$

               $\mathrm{Recordar} :\cfrac{sec(\beta) }{tan(\beta) } =\cfrac{1}{cos(\beta) } .\cfrac{cos(\beta) }{sen(\beta )} = csc(\beta )$

               $\mathrm{Remplazando}$

                                     $\frac{\sqrt{2} }{2} \int csc(\alpha) d\alpha$

               $\mathrm{Recordar} : \int csc(\beta )=ln|csc(\beta )-cot(\beta )|+C$

               $\mathrm{Remplazando}$

                                  $\frac{\sqrt{2} }{2} ln|csc(\alpha )-cot(\alpha )|+C$    

              $\mathrm{Sabemos}: \ \ sec(\alpha )=\cfrac{U}{\sqrt{2} } \ \ \ y \ \ \ \ U=\sqrt{x^{2} +2} \ \\ \\ \mathrm{haciendo \ un \ triangulo \ rectangulo \ obtenemos}$

              $csc(\alpha )=\cfrac{\sqrt{x^{2} +2} }{x } } \ \ \ \ y \ \ \ \ cot(\alpha )=\cfrac{\sqrt{2} }{x}}$

             $\mathrm{Finalmente}:$

              $\frac{\sqrt{2} }{2} ln|\cfrac{\sqrt{x^{2}+2 } }{x} -\cfrac{\sqrt{2} }{x} |+C$

$\mathbb{EJEMPLO}$

                                         $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25+4x^{2} } }$

$\mathrm{Hacemos \ que :}$

         $\ \ x=\cfrac{5}{2} .tan(\alpha )\\ \\ dx=\cfrac{5}{2} .sec^2(\alpha )d\alpha$           $\mathrm{remplazando}$         $\int \frac{\frac{5}{2} .sec^2(\alpha) }{\frac{25.5}{4}.tan^{2}(\alpha).sec(\alpha) } d\alpha$

                        $\mathrm{Entonces \ quedaria \ de \ la \ siguiente \ manera}$

                                          $\frac{2}{25} \int\frac{cos(\alpha )}{sen^2(\alpha) } d\alpha$

                 $\mathrm{Tener \ en \ cuenta}:$

                                            $\ \ w=sen(\alpha )\\ \\ dw=cos(\alpha ).d\alpha$

                 $\mathrm{Reescribiendo}:$

                                              $\frac{2}{25} \int\frac{dw}{w^{2} }$      

                 $\mathrm{Recordar}: \int \frac{dw}{w^2}= \int w^{-2}.dw=-w^{-1}+C=\cfrac{-1}{w}+C$

                 $\mathrm{Entonces}$

                                               $\frac{2}{25} .\frac{-1}{w} +C$

                 $\mathrm{Finalmente}:$

                                   $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25+x^{2} } } =\cfrac{-\sqrt{4x^{2}+25 } }{25.x} +C$

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Un cordial saludo.