Question

quien me puede ayudar hacer esa continuidad de una funcion de dos variables

x^3-4xy^2/x^2+y^2 si (x,y)≠ (0,0)
f(x,y)
0 si (x,y)=(0,0)

Answer 1

1) primero vemos que la función $f_1(x,y)=\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}$ no está definida solo cuando $x^2+y^2=0\iff (x,y)=(0,0)$, por ello el único punto crítico a evaluar será (0,0)

2) veamos si el siguiente límite existe
 
                                 $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}$

Indicadores del valor límite

2.1) Por el eje X (o sea cuando y = 0)
 
                        $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\equiv \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{x^2}=0$

2.2) Por el eje Y (cuando x = 0)
  
                       $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\equiv \lim\limits_{y\to 0}\dfrac{0}{y^2}=0$

2.3) A través de una recta que pasa por el origen (y = mx)
  
                 $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\equiv \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3-4x(mx)^2}{x^2+(mx)^2}\\ \\ \\ \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\equiv\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^3(1-4m)}{x^2(1+m)}\\ \\ \\ \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}=0$

Ya que todo parece indicar que tal límite es 0 entonces
2.4) debemos probar que:

                         $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}=0$


2.4.1) es fácil probar que $x^2+y^2\geq 2|x||y|$ y por ello (para $(x,y)\neq (0,0)$) tenemos
 
                                   $\dfrac{1}{x^2+y^2}\ \textless \ \dfrac{1}{2|x||y|}$

2.4.2) ...

                           $\left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|=\left|x-\dfrac{5xy^2}{x^2+y^2}\right|\\ \\ \\ \left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|\leq |x|+\left|\dfrac{5xy^2}{x^2+y^2}\right|\\ \\ \\ \text{Por 2.4.1:}\\ \\ \left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|\ \textless \ |x|+\left|\dfrac{5xy^2}{2xy}\right|\\ \\ \\ \left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|\ \textless \ |x|+\dfrac{5}{2}|y|\\ \\ \\ \left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|\ \textless \ \delta+\dfrac{5}{2}\delta\\ \\ \\ \boxed{\left|\dfrac{x^3-4xy^2}{x^2+y^2}\right|\ \textless \ \dfrac{7}{2}\delta}$

Entonces podemos hacer: $\varepsilon=\dfrac{7}{2}\delta$ y por ello $\delta = \dfrac{2}{7}\varepsilon$. Con lo que se demuestra que la función es continua en el origen de coordenadas.