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Formalmente, un grupo de Coxeter se puede definir como un grupo con la presentación
{\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }{\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }
donde {\displaystyle m_{ii}=1}{\displaystyle m_{ii}=1} y {\displaystyle m_{ij}\geq 2}{\displaystyle m_{ij}\geq 2} para {\displaystyle i\neq j}{\displaystyle i\neq j}. La condición {\displaystyle m_{ij}=\infty }{\displaystyle m_{ij}=\infty } significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}{\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}.
El par {\displaystyle (W,S)}{\displaystyle (W,S)} donde {\displaystyle W}W es un grupo de Coxeter con generadores {\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}{\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}} se llama sistema de Coxeter. Téngase en cuenta que, en general, {\displaystyle S}S no está determinado únicamente por {\displaystyle W}W. Por ejemplo, los grupos de Coxeter de tipo {\displaystyle B_{3}}{\displaystyle B_{3}} y {\displaystyle A_{1}\times A_{3}}{\displaystyle A_{1}\times A_{3}} son isomórficos, pero los sistemas de Coxeter no son equivalentes (véanse a continuación una explicación de esta notación).
Se pueden extraer varias conclusiones inmediatamente de la definición anterior:
La relación {\displaystyle m_{ii}=1}{\displaystyle m_{ii}=1} significa que {\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}{\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1} para todos los {\displaystyle i}i ; como tales los generadores son involuciones.
Si {\displaystyle m_{ij}=2}{\displaystyle m_{ij}=2}, entonces los generadores {\displaystyle r_{i}}{\displaystyle r_{i}} y {\displaystyle r_{j}}{\displaystyle r_{j}} conmutan. Esto se sigue al observar que
{\displaystyle xx=yy=1}{\displaystyle xx=yy=1},
que junto con
{\displaystyle xyxy=1}{\displaystyle xyxy=1}
implica que
{\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}{\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}.
Alternativamente, dado que los generadores son involuciones, {\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}{\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}, entonces {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}{\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}, y por lo tanto es igual a un conmutador.
Para evitar la redundancia entre las relaciones, es necesario asumir que {\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}{\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}. Esto se sigue al observar que
{\displaystyle yy=1}{\displaystyle yy=1},
que junto con
{\displaystyle (xy)^{m}=1}{\displaystyle (xy)^{m}=1}
implica que
{\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}{\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}.
Alternativamente, {\displaystyle (xy)^{k}}{\displaystyle (xy)^{k}} y {\displaystyle (yx)^{k}}{\displaystyle (yx)^{k}} son elementos conjugados, como {\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}{\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}.