Question

la integral de dx/raíz 4x^2-1

Answer 1

$\int{ \frac{dx}{ \sqrt{4 x^{2} -1} } } \, dx \\cambio.variable\\x= \frac{1}{2}sec(u)\\dx= \frac{1}{2}sec(u)tan(u)du\\reemplazo\\ \int{ \frac{\frac{1}{2}sec(u)tan(u)}{ \sqrt{4 (\frac{1}{2}sec(u))^{2} -1} } } \, du \\ \frac{1}{2} \int{ \frac{sec(u)tan(u)}{ \sqrt{sec(u)^{2} -1} } } \, du \\ \frac{1}{2} \int{ \frac{sec(u)tan(u)}{ \sqrt{tan(u)^{2}} } } \, du \\\frac{1}{2} \int{ \frac{sec(u)tan(u)}{ tan(u)} \, du$
$\frac{1}{2} \int{sec(u)} \, du \\\frac{1}{2} \int{ \frac{sec(u)*(sec(u)+tan(u))}{sec(u)+tan(u)} } \, du -->aplico.artificio.multiplico.y.divido.para.no.alterar\\\frac{1}{2} \int{ \frac{sec^{2}(u)+sec(u)tan(u)}{sec(u)+tan(u)} } \, du \\cambio.variable\\z=sec(u)+tan(u)\\dz=(sec(u)tan(u)+sec^{2}(u))du\\reemplazo\\\frac{1}{2} \int{ \frac{1}{z} } \, dz\\\frac{1}{2} In(z)+C\\\frac{1}{2} In(sec(u)+tan(u))+C\\\frac{1}{2} In(2x+ \sqrt{4x^{2}-1} )+C$
 
porsiaca el triangulo de donde sale secante y tangente que reemplazo  
               |  \
√(4x²-1)   |    \
                |      \  2x
                |___u\
                    1
sec(u)=2x/1
tan(u)=√(4x²-1)/1
NOTA: en la integral de la secante envez de hacer el artificio puedo reemplazar por la formula de su integral directa pero si estas aprendiendo te puede servir hacerlo completo

espero te sirva...