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Respuesta:Nos ocuparemos en este capÌtulo del concepto y mÈtodos de la aproximaciÛn de funcio- nes, en sus dos modalidades de aproximaciÛn discreta y aproximaciÛn continua. Se pondr·
mayor Ènfasis en los mÈtodos de aproximaciÛn lineal, pero se considerar·n tambiÈn casos
caracterÌsticos de aproximaciÛn no lineal, todos ellos enmarcados en el mÈtodo de los mÌni- mos cuadrados que protagoniza el desarrollo del capÌtulo por ser el de mayor interÈs e importancia para la pr·ctica de la ingenierÌa. En muchos problemas de ingenierÌa es necesario trabajar a menudo con conjuntos de
datos experimentales (x1,y1),..., (xN,yN), donde las abscisas {xk} (distintas entre sÌ) representan
la variable independiente, y las ordenadas {yk} la medida realizada. Interesa entonces deter- minar la funciÛn y = f (x) que mejor se aproxime a los datos, proceso matem·tico que se de- nomina aproximaciÛn discreta en consonancia con el n˙mero finito N de puntos (xi,yi) que se
utilizan como datos de partida. En ocasiones la representaciÛn gr·fica de los datos puede ser fuente de informaciÛn que
nos permita elegir el tipo de funciÛn f que mejor se ajusta a los mismos; pero tambiÈn puede
ocurrir que, conociendo suficientemente el fenÛmeno fÌsico en estudio, dispongamos de un
modelo matem·tico y de la forma de la funciÛn f que lo describe, a falta de mayor concreciÛn
en par·metros fÌsicos del modelo o, simplemente, de mayor precisiÛn en las medidas tomadas
por limitaciones instrumentales y humanas. En ambos casos, lo que queda es hallar los valores
m·s adecuados de los M par·metros {cj (j = 1,...,M)} que definen la funciÛn matem·tica
f (x,c1,...,cM) que mejor aproxima el cumplimiento de las N condiciones estipuladas:
yi = f (xi,c1,...,cM) (i = 1,...,N) (1)
Estas condiciones representan un sistema algebraico de ecuaciones lineales que habr·
que resolver para determinar los par·metros {cj (j = 1,...,M)}. Ejemplo 1:
Se trata de ajustar los 3 coeficientes de la funciÛn polinÛmica de grado 2:
f(x) = c1 + c2x + c3x
2
a un conjunto de 5 datos (puntos) disponibles (xi,yi) (i = 1,...,5). Las ecuaciones (1) indican que la curva y = f(x) debe pasar por los 5 puntos (xi,yi) definidos como
datos para este ejemplo. En este caso las ecuaciones (1) se particularizan en el siguiente sistema
lineal de 5 ecuaciones y 3 incÛgnitas {c1, c2, c3}:
2
1 1 1
2
2 2 1 2
2
3 3 2 3
2
4 4 3 4
2
5 5 5
1
1
1
1
1
x x y
x x c y
x x c y A
x x c y
x x y
c b
que en formato matricial en lo que sigue representaremos en la forma: Ac b, ind
Explicación: