Question

El conjunto $\frac{|x| - |x - 1|}{x - 4} \ \textgreater \ 2:$
Como lo resuelvo?

a) es acotado
b) el 4 es supremo
c) no tiene supremo
d) el 4 es el infimo
e) N.A

Answer 1

Veamos los puntos críticos

x = 0 
x - 1 = 0 ---> x = 1

entonces tenemos que evaluar la inecuación en los siguientes conjuntos
  *) x < 0
 **) 0 ≤ x ≤ 1
***) x > 1

(*) Cuando x < 0 tenemos
|x| = -x
|x - 1| = 1 - x

por ende la inecuación

$\dfrac{-x+x-1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \dfrac{-1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \dfrac{-1}{x-4}-2\ \textgreater \ 0\\ \\ \dfrac{1}{x-4}+2\ \textless \ 0\\ \\ \\ \dfrac{2x-7}{x-4}\ \textless \ 0\\ \\ \\ (2x-7)(x-4)\ \textless \ 0\\ \\ x\in \left(\dfrac{7}{2},4\right)$

y como el resultado no tiene nada en común con x < 0, entonces la solución parcial es $S_1=\emptyset$

(**) Cuando 0 ≤ x ≤ 1 
|x| = x
|x - 1| = 1 - x

$\dfrac{x + x - 1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \\ \dfrac{2x - 1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \\ \dfrac{2x - 1}{x-4}-2\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ \dfrac{7}{x-4}\ \textgreater \ 0\\ \\ x-4\ \textgreater \ 0\\ \\ x\ \textgreater \ 4$

Como el resultado no tiene nada en común 0 ≤ x ≤ 1 entonces la otra solución parcial es: $S_2=\emptyset$

(***) x > 1
|x| = x
|x-1| = x-1

$\dfrac{x-x+1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \\ \dfrac{1}{x-4}\ \textgreater \ 2\\ \\ \\ \dfrac{1}{x-4}-2\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ \dfrac{-2x+9}{x-4}\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ \dfrac{2x-9}{x-4}\ \textless \ 0\\ \\ \\ (2x-9)(x+4)\ \textless \ 0\\ \\ \\ x\in \left(4.\dfrac{9}{2}\right)$

Y como esta solución es > 1 entonces el conjunto solución es
                        $S_3=\left(4.\dfrac{9}{2}\right)$

Por lo tanto la solución es

          $S=S_1\cup S_2\cup S_3\\ \\ \\ \boxed{S=\left(4.\dfrac{9}{2}\right)}$

Qué se puede decir del conjunto solución
1) que es acotado inferiormente por 4 y superiormente por 4.5.

Respuesta (a) y (d)