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espero te ayude
Explicación paso a paso:
Método 1. Descomposición de números en factores primos:
Descomposición de un número en factores primos: es encontrar los números primos que se multiplican para formar ese número.
100 = 22 × 52;
100 no es número primo, es un número compuesto;
120 = 23 × 3 × 5;
120 no es número primo, es un número compuesto;
* Los números que solo se dividen por sí mismos y por 1, se llaman números primos. Un número primo tiene solo dos divisores: 1 y él mismo.
* Todo número natural que tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo se denomina compuesto.
Calcular el mínimo común múltiplo, mcm:
Tome todos los factores primos, con los más altos poderes.
mcm (100; 120) = 23 × 3 × 52;
mcm (100; 120) = 23 × 3 × 52 = 600
los números tienen factores primos comunes
>> Descomposición de números en factores primos
Método 2. Algoritmo de Euclides:
Calcular el máximo común divisor:
Este algoritmo implica la operación de dividir y calcular residuos.
'a' y 'b' son los dos enteros positivos, 'a' >= 'b'.
Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto, 'r'.
Si 'r' = 0, DETÉNGASE. 'b' = el MCD de 'a' y 'b'.
De lo contrario: Reemplaza ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Regrese al paso de la división, arriba.
La operación 1. Divido el numero mayor con el número menor:
120 ÷ 100 = 1 + 20;
La operación 2. Divido el número menor al resto de la operación antes mencionada:
100 ÷ 20 = 5 + 0;
En este momento, porque no hay resto, paramos:
20 es el numero buscado, el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.
Calcular el mínimo común múltiplo, mcm:
Mínimo común múltiplo, fórmula:
mcm (a; b) = (a × b) / mcd (a; b);
mcm (100; 120) =
(100 × 120) / mcd (100; 120) =
12.000 / 20 =
600;
Prueba de la fórmula mcm
Mínimo común múltiplo, fórmula:
mcm (a; b) = (a × b) / mcd (a; b);
Digamos que las descomposiciones en factores primos de 'a' y 'b' son:
a = m × n × p, donde m, n, p - cualquier número primo
b = m × q × t, donde m, q, t - cualquier número primo
=> mcm (a; b) = m × n × p × q × t;
=> mcd (a; b) = m;
Por lo tanto:
(a × b) / mcd (a; b) =
(m × m × n × p × q × t) / m =
m × n × p × q × t =
mcm (a; b).
El algoritmo de Euclides para números grandes, método para cálcular el MCD y MCM
Identifica el máximo común divisor (mcd) de números grandes
Para números grandes, la descomposición en factores primos es difícil. Para identificar el máximo común divisor (mcd) de este tipo de números grandes, se tiene que utilizar un método que no usa la descomposición en factores primos, pero se va a utilizar el algoritmo de Euclides... vea el siguiente ejemplo.
Vamos a ver cuál es el máximo común divisor (mcd) de los números 53.667 y 25.527:
1) 53.667 = 25.527 × 2 + 2.613 (divido el numero mayor con el número menor)
2) 25.527 = 2.613 × 9 + 2.010 (divido el número menor al resto de la operación antes mencionada)
3) 2.613 = 2.010 × 1 + 603 (divido el resto de la primer operación con el resto de la segunda operación)
4) 2.010 = 603 × 3 + 201 (divido el resto de la segunda operación con el resto de la tercera operación)
5) 603 = 201 × 3 (divide el resto de la tercera operación con el resto de la cuarta operación); en este momento, porque no hay resto, paramos, 201 es el numero buscado.
En conclusión el máximo común divisor de los dos números es el último resto (distinto de cero, por supuesto).
Si este ultimo resto es igual a uno, entonces los dos números son primos entre ellos.
Para las operaciones antes mencionados, el ultimo divisor, 201 es el máximo común divisor (mcd) de los números 53.667 y 25.527.
Podemos demonstrar usando el algoritmo de Euclides y el hecho de que dos números son primos entre ellos.
Por ejemplo, vamos a identificar mcd (87, 41):
1) 87 = 41 × 2 + 5 (divido el numero mayor al número menor)
2) 41 = 5 × 8 + 1 (divido el número menor al resto de la operación antes mencionada)
3) 5 = 5 × 1 (divido el resto de la primer operación con el resto de la segunda operación, que es uno, la operación no tendrá resto)
El ultimo resto diferente de cero de las operaciones antes mencionadas es igual a 1.
mcd (87, 41) = 1, resulta que los números son primos entre ellos.
Aplicación del algoritmo de Euclides para más de dos números:
El algoritmo de Euclides se puede utilizar también para averiguar el máximo común divisor (mcd) de mas números, por ejemplo a, b și c. Se procederá en etapas. Al principio identificamos mcd (a, b) = d y después identificamos mcd (c, d) = e.
Algoritmo de Euclides: identifica el mínimo común múltiplo (mcm) para números grandes
En caso de números grandes es difícil calcular el mínimo común múltiplo (mcm), porque se necesita mucho tiempo para realizar la descomposición en factores primos.
Con la ayuda del algoritmo de Euclides identifica el máximo común divisor (mcd) – mira detrás, pero también el mínimo común múltiplo (mcm), con la regla siguiente:
mcm (a, b) = (a × b) / mcd(a, b);
No se puede utilizar este método con más de dos números.