Question

cuáles son los pasos para resolver una ecuación trigonométrica cuadrática
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Answer 1

Respuesta:

Como el Agente Trigonometría, se te da la siguiente pista: 2cos2x−3cosx+1=0 . Si x se encuentra en el intervalo 0 \le x < 2\pi< 2\pi" class="x-ck12-math" /> , ¿Cuál(es) es (son) su(s) posible(s) valor(es)?

Guía

Otra forma de resolver una ecuación trigonométrica es usar la factorización o la fórmula cuadrática. Observemos algunos ejemplos.

Ejemplo A

Resuelve sin2x−3sinx+2=0 .

Solución: Esta ecuación seno se asemeja mucho a una ecuación cuadrática x2−3x+2=0 cuya factorización resulta en (x−2)(x−1)=0 y las soluciones son x=2 y 1. . Podemos factorizar la ecuación trigonométrica de la misma forma. En vez de solo estar x , en los factores, también lo estará sinx .

sin2x−3sinx+2(sinx−2)(sinx−1)sinx=2 and sinx=0=0=1

No hay solución para sinx=2 y sinx=1 cuando x=π2±2πn .

Ejemplo B

Resuelve 1−sinx=3–√cosx en el intervalo 0 \le x < 2 \pi< 2 \pi" class="x-ck12-math" /> .

Solución: Para resolver esta ecuación, usa la Identidad Pitagórica sin2x+cos2x=1 . Resuelve para ambos cosenos y sustitúyelo en la ecuación. cosx=1−sin2x−−−−−−−−√

1−sinx(1−sinx)21−2sinx+sin2x4sin2x−2sinx−22sin2x−sinx−1(2sinx+1)(sinx−1)=3–√⋅1−sin2x−−−−−−−−√=3−3sin2x−−−−−−−−−√2=3−3sin2x=0=0=0

Al resolver cada factor para encontrar , obtenemos x , obtenemos sinx=−12→x=7π6 y 11π6 y sinx=1→x=π2 .

Ejemplo C

Resuelve tan2x−5tanx−9=0 en el intervalo 0 \le x < \pi< \pi" class="x-ck12-math" /> .

Solución: Esta ecuación no es factorizable, así que tienes usar la Fórmula Cuadrática.

tanx=5±(−5)2−4(1)(−9)−−−−−−−−−−−−−−√2=5±61−−√2≈6.41 and −1.41

x≈tan−16.41≈1.416 rad y x≈tan−1−1.41≈−0.954 rad

La primera respuesta se encuentra dentro del rango, pero la segunda no. Para hacer que -0,954 esté dentro del rango, debemos encontrar la respuesta en el segundo cuadrante, π−0.954=2.186 rad .

Revisión del Problema Introductorio Podemos resolver este problema usando la factorización.

2cos2x−3cosx+1=0(2cosx−1)(cosx−1)=0cosx=12ORx=1 .

En el intervalo 0 \le x < 2\pi< 2\pi" class="x-ck12-math" /> , cosx=12 cuando x=π3 y cosx=1 cuando x=0 .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, usando cualquier método, que se encuentran en el intervalo 0 \le x < 2 \pi< 2 \pi" class="x-ck12-math" /> .

1. sin2xcosx=cosx

2. sin2x=2sin(−x)+1

3. 4cos2x−2cosx−1=0

Respuestas

1. Mueve todo hacia un lado de la ecuación y deja el otro lado en cero. Luego, factoriza el coseno.

sin2xcosx−cosxcosx(sin2x−1)cosx(sinx−1)(sinx+1)=0=0=0

cosxx=0  sinx=1  sinx=−1=π2 and 3π2 x=π2x=3π2

2. Recuerda que sin(−x)=−sinx de las Identidades de Ángulos Negativos.

sin2xsin2xsin2x+2sinx+1(sinx+1)2sinxx=2sin(−x)+1=−2sinx+1=0=0=−1=3π2

3. Esta ecuación cuadrática no es factorizable, por lo tanto, debes usar la fórmula cuadrática.

cosx=2±22−4(4)(−1)−−−−−−−−−−−−√2(4)=2±20−−√8=1±25–√4

Explicación paso a paso: