Question

Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°
tan2 x + 3 tan x + 2 = 0

Answer 1

a)

csc^4(2x) =4

Entonces

sen^4(2x) = 1/4

tenemos

sen^2(2x) = +/- 1/2

Como estamos trabajando con reales

sen^2(2x) = +1/2

sen(2x) = +/- 1/raiz(2)

Para estos valores
sen(2x) = +1/raiz(2) 
2x = 45º ---------------> x1 = 22.5º
2x = 360º + 45º ----> x2 = 180º + 22.5º = 202.5º

sen(2x) = -1/raiz(2)
2x = 360º - 45º = 315º
x3 = 187.5º
2x = 360º + 360º - 45º
x4 = 337.5º.

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5 sen(x) tan(x) - 10 tan(x) + 3 sen(x) - 6 = 0

Multiplicamos todo por cos(x)

5 sen^2(x) - 10 sen(x) + 3 sen(x) cos(x) - 6 cos(x) = 0 

Factor común

5 sen(x) ( sen(x) - 2) + 3 cos(x)(sen(x) - 2) = 0

(5 sen(x) + 3 cos(x)) ( sen(x) - 2) = 0

Tenemos 2 factores
sen(x) -2 nunca se anula porque el sen(x) alcanza de -1 a +1

Nos queda

5 sen(x) + 3 cos(x) = 0

tan(x) = sen(x)/cos(x) = - 3/5

x1 = 180º - atan(3/5) = 180º - 31º = 149º

También

x2 = 180º + atan(3/5) = 180º + 31º = 211º