Question

Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado cuya área es de 81 m2.

Diagonal = Respuesta para coordenada 1
√ Respuesta para coordenada 2
m​

Answer 1

La longitud de la diagonal del cuadrado es de 9√2 metros expresado en forma exacta. En forma decimal es de aproximadamente 12,727 metros

Procedimiento:

El cuadrado es un polígono con cuatro lados iguales. Sus cuatro ángulos interiores también son iguales y rectos, de 90º cada uno.

Las diagonales de un cuadrado son segmentos que unen dos vértices no consecutivos de éste. El cuadrado tiene dos diagonales iguales y perpendiculares las cuales cortan en el centro del cuadrado.

Para determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado conociendo su área podemos

1) Hallar el valor del lado del cuadrado

2) Hallar la diagonal del cuadrado en función a su área

1) Hallando el valor del lado del cuadrado

Dado que la diagonal del cuadrado se puede calcular a partir de la longitud de los lados

El área del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados o aristas. Es el producto de la base por la altura del cuadrado, siendo sus lados iguales, el área será un lado al cuadrado.

Para determinar el valor del lado:

$\boxed{ \bold { \'Area \ Cuadrado = Lado \ . \ Lado}}$

$\boxed{ \bold { \'Area \ Cuadrado = Lado^{2} }}$

$\boxed{ \bold { Lado^{2}= \'Area \ Cuadrado }}$

$\boxed{ \bold { \sqrt{ Lado^{2} } = \sqrt{ \'Area \ Cuadrado } }}$

$\boxed{ \bold { Lado= \sqrt{ \'Area \ Cuadrado } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { Lado= \sqrt{ 81 \ m^{2} } }}$

$\boxed{ \bold { Lado= 9 \ m } }}$

Conociendo el valor de un lado la magnitud de la diagonal puede obtenerse mediante el teorema de Pitágoras, ya que dos lados consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo.

Por teorema de Pitágoras

$\boxed{ \bold { d^2 = a^2+ a^2 } }}$

$\boxed{ \bold { d^2=2\ .\ (a)^{2} }}$

$\boxed{ \bold { d= \sqrt{2 \ .\ a^{2} } }}$

$\boxed{ \bold { d= \sqrt{2} \ . \ \sqrt{a^{2} } }}$

$\boxed{ \bold { d= \sqrt{2} \ . \ a} }}$

Reemplazamos valores sabiendo que el lado del cuadrado mide 9 metros

$\boxed{ \bold { d= \sqrt{2} \ . \ 9} }}$

$\large\boxed{ \bold { d= 9 \sqrt{2} \ metros }}$

Concluyendo que la medida de la diagonal de un cuadrado equivale a la longitud del lado multiplicado por la raíz de 2

2) Hallar la diagonal del cuadrado en función a su área

Como se hizo en el paso anterior, por medio del teorema de Pitágoras

Podemos expresar

$\boxed{ \bold { d^2 = a^2+ a^2 } }}$

$\boxed{ \bold { d^2 = 2a^2 } }}$

$\boxed{ \bold { a^2 = \frac{d^{2} }{2} } }}$

Luego el área del cuadrado equivale a la diagonal elevada al cuadrado dividida entre dos

$\boxed{ \bold { \'Area \ Cuadrado = \frac{d^{2} }{2} } }}$

Cómo conocemos el área del cuadrado por enunciado

Reemplazamos

$\boxed{ \bold {81 = \frac{d^{2} }{2} } }}$

$\boxed{ \bold {\frac{d^{2} }{2} = 81 } }}$

$\boxed{ \bold {d^{2} = 81 \ . \ 2 } }}$

$\boxed{ \bold {d^{2} = 162 } }}$

$\boxed{ \bold {d =\sqrt{162} } }}$

$\boxed{ \bold {d =\sqrt{9^{2} . \ 2\ } } }}$

$\large\boxed{ \bold { d= 9 \sqrt{2} \ metros }}$