Question

cual es el area de un terreno con forma de triangulo rectangulo donde la hipotenusa h=10 y perímetro p=24​

Answer 1

El área del terreno en forma de triángulo rectángulo es de 24 metros cuadrados

Procedimiento:

Se pide hallar el área de un terreno en forma de triángulo rectángulo dada su hipotenusa y su perímetro

Solución

Tomamos la notación habitual en los triángulos rectángulos y denotamos como a y b a los catetos y c a la hipotenusa.

En este ejercicio conocemos la hipotenusa y el perímetro al que llamaremos p

$\bold { a \ \ \textsf{ Cateto 1 } }}$

$\bold { b \ \ \textsf{ Cateto 2 } }}$

$\bold { c \ \ \textsf{ Hipotenusa } }}$

$\bold { p \ \ \textsf{ Per\'imetro } }}$

$\bold { A \ \ \textsf{ \'Area \ \ \ \ Que es la inc\'ognita } }}$

Donde nos falta determinar las longitudes de los catetos,

Luego si el área de un triángulo rectángulo está dada por

$\boxed {\bold { \'Area =\frac{a \ . \ b }{2 } }}}$

Sabemos que el perímetro es la suma de los lados

$\boxed {\bold { p = a \ + \ b \ + \ c }}\bold { \\ \ \textsf{primera ecuaci\'on } }}$

Y que en todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras      

$\boxed {\bold { a^{2} + b^{2} = c^{2} }} { \\ \ \textsf{segunda ecuaci\'on }$

En la primera ecuación como no conocemos el valor de los catetos, pero sí el de perímetro y el de la hipotenusa

Podemos reescribirla como

$\boxed {\bold { a \ + \ b \ = p - \ c }} }}$

Luego

$\boxed {\bold { ( a \ + \ b)^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} \ + \ 2 ab = a^{2} \ + \ b^{2} \ + \ 4A }}$

Vemos que el cuadrado de la suma aparece sumando el producto, el cual es proporcional al área

Por el Teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { a^{2} + b^{2} = c^{2} }}$

Donde la suma de cuadrados que vimos antes, por el Teorema de Pitágoras es el cuadrado de la hipotenusa

Por lo tanto

$\boxed {\bold { ( a \ + \ b)^{2} = c^{2} \ + \ 4A }}$

$\boxed {\bold {4A = ( a \ + \ b)^{2} - c^{2} = ( p \ - \ c)^{2} - c^{2} = p^{2} -2 pc }}$

$\boxed {\bold { A=\frac{p^{2} }{4 } -\frac{pc}{2} }}}$

$\boxed {\bold { A=\left(\frac{p }{2 }} \right)^{2} -\frac{p}{2} \ . \ c }}}$

$\boxed {\bold { A=\frac{p }{2 } \left( \ \frac{p}{2} \ - \ c \right) }}}$

Reemplazamos los valores dados del perímetro y de la hipotenusa para hallar el área

$\boxed {\bold { A=\frac{24 \ m }{2 } \left( \ \frac{24 \ m }{2} \ - \ 10 \ m \right) }}}$

$\boxed {\bold { A=12 \ m \ ( 12 \ m \ - \ 10 \ m }}}$

$\boxed {\bold { A=12 \ m \ ( 2 \ m ) }}}$

$\large\boxed {\bold { \'Area=24 \ m^{2} }}}$

Solución alternativa

Hallando los catetos para calcular el área

$\boxed {\bold { p = a \ + \ b \ + \ c }}\bold { \\ \ \textsf{primera ecuaci\'on } }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + b^{2} = c^{2} }} { \\ \ \textsf{segunda ecuaci\'on }$

En la primera ecuación

$\boxed {\bold { b \ = p \ - \ c \ - \ a }}$

Reemplazamos en la segunda y la igualamos a 0

Obteniendo una ecuación de segundo grado

$\boxed {\bold { a^{2} \ = (p \ - \ c \ - \ a )^{2} \ - \ c^{2}= 0 }}$

Donde conocemos la hipotenusa y el perímetro

Reemplazamos

$\boxed {\bold { a^{2} \ = (24 \ - \ 10 \ - \ a )^{2} \ - \ 10^{2}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ = (14 \ - \ a )^{2} \ - \ 10^{2} = 0 }}$    

$\boxed {\bold { a^{2} \ + (14 \ - \ a ) \ (14 \ - \ a ) \ - \ 10^{2}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + 196 \ - \ 28a\ +a^{2} - 100 = 0 }}$

$\boxed {\bold { 2a^{2} - \ 28a\ + 96= 0 }}$

Al ser una ecuación cuadrática tiene dos soluciones para a, en donde se toman ambas -una para cada cateto-, dado que la notación es arbitraria

Factorizando tenemos

$\boxed {\bold { 2 (a^{2} \ - 14 \ + \ 48) = 0 }}$

$\boxed {\bold { 2\ (a \ - 8 ) (a \ - 6 ) = 0 }}$

Siendo las dos soluciones posibles

$\boxed {\bold { a = 8,6 }}$

Conociendo el valor de los catetos se calcula el área

$\boxed {\bold { \'Area =\frac{a \ . \ b }{2 } }}}$

$\boxed {\bold { \'Area =\frac{8 \ m \ . \ 6 \ m }{2 } }}}$

$\large\boxed {\bold { \'Area=24 \ m^{2} }}}$