• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: hueningkai303
  • hace 5 años

Bases y Dimensiones de un Espacio Vectorial. Ayuda :(

Respuestas

Respuesta dada por: claudettecruz
1

Bonita foto ;), espero y la info te sirva. Sino acá esta el link,

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

 

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.

Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1.      V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn

2.      V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Restar 2-1

            0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn

Ejemplo:

demostrar si S = {v1, v2,…, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)

Proponer vector arbitrario, combinación lineal

b = c1v1+ c2v2+ c3v3

(b1, b2, b3) = c1(1,2,1)+ c2(2,9,0)+ c3(3,3,4)

(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3

c1    + 2c2 + 3c3 = b1                                      det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]

2c1 + 9c2 + 3c3 = b2                  = [36+6]-[27+16]

  c1               + 4c3 = b3          = -1                                     Si genera a R3                       

Dimensión

Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).

 

La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.

La dimensión de Pn con las operaciones normales  es n+1.

La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.

 

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.

 

Ejemplo: Determinación de la dimensión de un subespacio

 

Sea W el subespacio de todas las matrices simétricas en M2,2 ¿Cuál es la dimensión de W?

 

Solución: Toda matriz simétrica  2 X 2  es de la forma

 

Genera a W. Además puede demostrarse que S es linealmente independiente, y se concluye que la dimensión de W es 3.

 

Para concluir que un conjunto S= { v1, v2, …, vn} es una base de un espacio vectorial V es necesario saber que S satisface dos condiciones: que S genera a V y es linealmente independiente.

 


hueningkai303: Gracias!!, y tu foto también es muy linda :3
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