Question

Se producirá una caja abierta por la parte superior, de una pieza cuadrada de cartón cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados. Si la pieza de cartón mide 50 cm de lado, ¿Cuál es el volumen máximo que se puede obtener?

Answer 1

El máximo volumen de la caja es de 9254 centímetros cúbicos.

Explicación paso a paso:

Para construir la caja se empieza recortando en cada esquina sendos cuadrados de lado h, donde h es la altura de la caja. La base de la caja por ende será cuadrada, de lado 'a', el volumen de la caja es:

$V=a^2h$

Siendo L el lado de la plancha de cartón queda:

$L=a+2h\\\\h=\frac{L-a}{2}$

Reemplazamos esta expresión en la del volumen:

$V=a^2\frac{L-a}{2}\\\\V=\frac{a^2L-a^3}{2}$

Para hallar el volumen máximo derivamos esta expresión y luego igualamos la derivada a cero:

$\frac{dV}{da}=\frac{2aL-3a^2}{2}=0\\\\2L-3a=0\\\\a=\frac{2}{3}L=\frac{2}{3}.50cm=33,3cm$

Ahora hallamos la altura de la caja:

$h=\frac{L-a}{2}=\frac{50-33,3}{2}\\\\h=8,33cm$

Y el volumen máximo queda:

$V=a^2h=(33,3cm)^2.8,33cm\\\\V=9254cm^3$