Determine la velocidad final y aceleración de una partícula que recorre una distancia de 250 metros en un tiempo de 52 segundos si parte desde su reposo
Respuestas
Respuesta:
Problema 1.
La posici´on de una part´ıcula que se mueve unidimensionalmente esta definida por la ecuaci´on:
x(t) = 2t
3 − 15t
2 + 24t + 4 donde 0x
0 y
0
t
0
se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine:
a. ¿Cu´ando la velocidad es cero?
b. La posici´on y la distancia total recorrida cuando la aceleraci´on es cero.
Soluci´on:
a. Recordemos que:
v(t) =
dx
dt =
d
dt(2t
3 − 15t
2 + 24t + 4) = 6t
2 − 30t + 24
Sea t
0
el tiempo en que la velocidad se anula, entonces v(t
0
) = 0.
De este modo:
0 = v(t
0
) = 6(t
0
)
2 − 30(t
0
) + 24 = 6[(t
0
)
2 − 5(t
0
) + 4] = 6[(t
0
) − 4][(t
0
) − 1]
As´ı tenemos que:
t
0
1 = 4, t
0
2 = 1
De este modo, tenemos que la velocidad se anula al primer segundo y a los cuatro segundos.
b. Recordemos que:
a(t) =
dv
dt =
d
dt(6t
2 − 30t + 24) = 12t − 30
Ahora sea t
0
el instante en que la aceleraci´on se anula, entonces a(t
0
) = 0
Ahora:
0 = a(t
0
) = 12t
0 − 30
As´ı tenemos que: t
0 =
30
12 =
5
2
Por lo tanto, la posici´on en este instante es:
x(t
0
) = x
Calcule el desplazamiento que realizo entre t0 y t1.
ii) Calcule la velocidad media entre t0 y t1.
iii) Calcule el desplazamiento que realizo entre t1 y t2.
iv) Calcule la velocidad media entre t1 y t2.
Soluci´on:
i) El desplazamiento entre t0 y t1 esta dado por:
d = x(t1) − x(t0) = 25[m] −0 [m] = 25 [m]
desplazamiento = d = 25[m]
ii) La velocidad media entre t0 y t1, esta dada por:
v¯ =
x(t1) − x(t0)
t1 − t0
=
d
1[s] − 0[s] =
25[m]
1[s] = 25 -
m
s
velocidad media = ¯v = 25 hm
s
i
iii) El desplazamiento entre t1 y t2 esta dado por:
d = x(t2) − x(t1) = 100[m] −25 [m] = 75 [m]
desplazamiento = d = 75[m]
iv) La velocidad media entre t1 y t2, esta dada por:
v¯ =
x(t2) − x(t1)
t2 − t1
=
d
3[s] − 1[s] =
75[m]
2[s] =
75
2
-
m
s
= 37.5
-
m
s
velocidad media = ¯v = 37.5
hm
s
i
Problema 3.
Determine la velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo de una part´ıcula a partir de su posici´on en funci´on
del tiempo que esta dada por:
x(t) = Z t
2
t
e
x
2
dx
Soluci´on:
Tenemos que:
x(t) = R t
2
t
e
x
2
dx
Usando el teorema fundamental del c´alculo tenemos que sea F(u) tal que:
dF(u)
du = e
u
2
entonces tenemos que:
x(t) = F(t
2
) − F(t)
De este modo:
v(t) =
d(x(t))
dt =
d
dt
-
F(t
2
) − F(t)
=
dF(t
2
)
dt −
dF(t)
dt =
dF(t
2
)
d(t
2)
! d(t
2
)
dt !
−
dF(t)
dt !
= 2t
dF(t
2
)
d(t
2)
!
−
dF(t)
dt !
Ahora notemos que usando que:
dF(u)
du = e
u
2
, entonces:
dF(t
2
)
d(t
2)
=
dF(u)
d(u)
= e
u
2
si es que tomamos u = t
2
. De este modo: e
u
2
= e
t
4
De este modo:
dF(t
2
)
d(t
2)
= e
t
4
Ahora tambi´en tenemos que:
dF(t)
dt = e
t
2
De esta manera:
2t
dF(t
2
)
d(t
2)
!
−
dF(t)
dt !
= 2t · e
t
4
− e
t
2
Finalmente:
v(t) = 2t · e
t
4
− e
t
2
Ahora tenemos que:
a(t) =
dv(t)
dt =
d
dt
2t · e
t
4
− e
t
2
= 2
d
dt
t · e
t
4
−
d(e
t
2
)
dt = 2 " dt
dt!
e
t
4
+ t ·
det
4
dt !# −
d(e
t
2
)
d(t
2)
! d(t
2
)
dt !
= 2 "
e
t
4
+ t ·
d(e
t
4
)
d(t
4)
! d(t
4
)
dt !# − 2t · e
t
2
= 2 h
e
t
4
+ t · e
t
4
4t
3
i
− 2t · e
t
2
= 2 · e
t
4
+ 8 · t
4
e
t
4
− 2t · e
t
2
De este modo:
a(t) = 2 · e
t
4
+ 8 · t
4
e
t
4
− 2t · e
t
2
Problema 4.
Determine las ecuaciones de la aceleraci´on, velocidad y posici´on para una part´ıcula que se mueve con velocidad
constante. Considere t0 = 0[s], x(t0) = x0. Para esto recuerde que:
a(t) =
dv(t)
dt
x(t) − x(t0) = Z t
t0
v(u)du
Soluci´on:
Como la velocidad es contante diremos que: v(t) = v . Ahora:a(t) =
dv(t)
dt = 0. De este modo: a(t) = 0
Considerando que: x(t0) = x0, entonces tenemos que:
x(t) − x0 =
Z t
0
v(u)du =
Z t
0
vdu = v uit
0
= vt
As´ı tenemos que: x(t) − x0 = vt, por ende: x(t) = x0 + vt
Problema 5.
Determine las ecuaciones de la aceleraci´on, velocidad y posici´on para una part´ıcula que se mueve con acelera-
ci´on constante. Considere t0 = 0[s], x(t0) = x0 y v(t0) = v0. Para esto recuerde que:
v(t) − v(t0) = Z t
t0
a(u)du
x(t) − x(t0) = Z t
t0
v(u)du
Soluci´on:
Sea a(u) = a y como v(t0) = v0 y t0 = 0 [s], entonces:
v(t) − v0 =
Z t
0
a du = a · u ]
t
0 = at
De este modo: v(t) − v0 = at, y por ende: v(t) = at + v0
Ahora como x(t0) = x0 y t0 = 0[s], entonces:
x(t) − x0 =
Z t
0
v(u)du =
Z t
0
(au + v0)du = a
Z t
0
u du + v0
Z t
0
du = a ·
u
2
2
it
0
+ v0 · u
it
0
= a ·
t
2
2
+ v0 · t
De este modo: x(t) − x0 = a
t
2
2 + v0t y por ende: x(t) = x0 + v0t + a
t
2
2
Explicación:
PERDON SI ES LARGO JEJEJ