En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7 Halla el término general y calcula la suma de los 15 primeros términos
Respuestas
El término general es a_n = 2n-3 y la suma de los 15 primeros términos es 195.
En una progresión aritmética cada número (excepto el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d:
a_n = a_(n-1) + d
[se lee: "a sub n" y "a sub n menos 1"]
Desde a_2 hasta a_5 se ha sumado esa diferencia 3 veces (porque 5-2=3). Restando a_2 de a_5 y dividiendo entre 3, hallamos d:
7 - 1 = 6; 6 : 3 = 2; d= 2
El término general de una progresión aritmética está dado por la fórmula:
a_n = a_1 + (n - 1) · d
Como sabemos que d=2 y a_2 es conocida, hallo a_1:
a_2 = a_1 + d
1 = a_1 + 2
a_1 = 1-2 = -1
Por tanto, el término general de la progresión es:
a_n = -1 + 2·(n - 1)
que desarrollado queda:
a_n = -1 + 2n - 2
a_n = 2n-3
La suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética viene dada por la fórmula:
S_n = (a_1 + a_n)·n/2
Así pues, para hallar la suma de los 15 primeros términos (n=15) primero calculo n_15 aplicando el término general:
a_15 = 2·15 - 3 = 30-3 = 27
y luego aplico la fórmula de la suma:
S_15 = (-1 + 27)·15/2 = 26·15/2 = 13·15 = 195
Respuesta:
195
Explicación paso a paso:
El término general es a_n = 2n-3 y la suma de los 15 primeros términos es 195.
En una progresión aritmética cada número (excepto el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d:
a_n = a_(n-1) + d
[se lee: "a sub n" y "a sub n menos 1"]
Desde a_2 hasta a_5 se ha sumado esa diferencia 3 veces (porque 5-2=3). Restando a_2 de a_5 y dividiendo entre 3, hallamos d:
7 - 1 = 6; 6 : 3 = 2; d= 2
El término general de una progresión aritmética está dado por la fórmula:
a_n = a_1 + (n - 1) · d
Como sabemos que d=2 y a_2 es conocida, hallo a_1:
a_2 = a_1 + d
1 = a_1 + 2
a_1 = 1-2 = -1
Por tanto, el término general de la progresión es:
a_n = -1 + 2·(n - 1)
que desarrollado queda:
a_n = -1 + 2n - 2
a_n = 2n-3
La suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética viene dada por la fórmula:
S_n = (a_1 + a_n)·n/2
Así pues, para hallar la suma de los 15 primeros términos (n=15) primero calculo n_15 aplicando el término general:
a_15 = 2·15 - 3 = 30-3 = 27
y luego aplico la fórmula de la suma:
S_15 = (-1 + 27)·15/2 = 26·15/2 = 13·15 = 195