Question

Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

Answer 1

La altura del edificio de enfrente es de 12.62 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Donde los triángulos dados de 45-45 y de 30-60 resultan ser lo que se denomina triángulo notable

Dado que una persona desde su ventana en lo alto de su apartamento observa la parte inferior del edificio de enfrente con un ángulo de depresión de 45° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 30°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del edificio de enfrente-, con un ángulo de depresión de 45°, el lado DB que es una porción del edificio de enfrente y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se halla la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al edificio de enfrente y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x"-, la cual es una preincógnita

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del edificio de enfrente-, con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del edificio de enfrente, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" al edificio

Donde se pide hallar la altura "h" del edificio de enfrente

Por tanto se determinará primero la distancia "x" hasta el edificio de enfrente, y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del edificio de enfrente

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ABD

Hallamos la distancia x - distancia de la ventana al edificio

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 45° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 45^o}$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la distancia hasta el edificio será igual que la altura de la ventana

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ altura\ ventana \ }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ ventana }{ tan(45^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 8 \ m }{ tan(45^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 8 \ m }{ 1 } }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 8 \ metros } }$

La distancia desde la ventana al edificio de enfrente es de 8 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

En ACD

Hallamos la distancia y - porción de la altura del edificio de enfrente-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 30^o }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(30^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 8 \ m \ . \ tan(30^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 8 \ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{8\sqrt{3} }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 4.62 \ metros } }$

La distancia y es de 4.62 metros- siendo una parte de la altura del edificio de enfrente-

Hallamos la altura h del edificio de enfrente

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = altura \ ventana\ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 8 \ m +\ 4.62 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 12.62 \ metros } }$

La altura del edificio de enfrente es de 12.62 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto