Question

ayúdame por favor no respondan si no saben es para hoy !!
$\left[\begin{array}{ccc}nesecito /la /respuesta /a /esta/ pregunta/ por/ lo /menos/ o /minimo/\/5/renglones&\\&&\end{array}\right]$

Answer 1

Respuesta:

Cuando multiplicamos dos números naturales, por ejemplo el 8 y el 2, lo que hacemos es sumar 2 veces el 8 a sí mismo y obtenemos 16. O al revés, sumamos 8 veces el 2 a sí mismo y volvemos a obtener 16.

Pero cuando multiplicamos, por ejemplo, -8 por -2, ¿cómo es eso de sumar el -2 a sí mismo -8 veces? ¿Y encima resulta que es positivo? ¿De dónde sale todo eso?

Pues vamos a verlo. Lo siguiente es parte de la tabla del 3, solo que vamos a invertir el orden en que normalmente la vemos:

\displaystyle \begin{array}{ccc}3\cdot 5&=&15\\3\cdot 4&=&12\\3\cdot 3&=&9\\3\cdot 2&=&6\\3\cdot 1&=&3\\3\cdot 0&=&0\end{array}

Observa que en la columna de la derecha, la de los resultados, lo que hacemos cada vez es restar 3 del resultado inmediatamente superior. Así que la secuencia es 15, 12, 9, 6, 3, 0… ¿y qué pasaría si continuásemos con esta secuencia? Pues pasaría esto:

\displaystyle \begin{array}{ccc}3\cdot 5&=&15\\3\cdot 4&=&12\\3\cdot 3&=&9\\3\cdot 2&=&6\\3\cdot 1&=&3\\3\cdot 0&=&0\\3\cdot (-1)&=&-3\\3\cdot (-2)&=&-6\\3\cdot (-3)&=&-9\\3\cdot (-4)&=&-12\\3\cdot (-5)&=&-15\end{array}

Ya tenemos la respuesta a qué pasa cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo. El resultado, según vemos, es el mismo que si el número negativo fuera positivo, solo que el resultado es negativo. Como da lo mismo intercambiar los factores, sabemos ya cuánto es más por menos y cuánto es menos por más.

Y ¿cuánto es menos por menos? Vamos a utilizar la misma estrategia para resolver esta pregunta. Construimos la siguiente tabla:

\displaystyle \begin{array}{ccc}(-3)\cdot 5&=&-15\\(-3)\cdot 4&=&-12\\(-3)\cdot 3&=&-9\\(-3)\cdot 2&=&-6\\(-3)\cdot 1&=&-3\\(-3)\cdot 0&=&0\end{array}

Esta vez, lo que ocurre en la columna de los resultados es que con cada paso sumamos 3 al resultado anterior. Pues nada, vamos a continuarla a ver…

\displaystyle \begin{array}{ccc}(-3)\cdot 5&=&-15\\(-3)\cdot 4&=&-12\\(-3)\cdot 3&=&-9\\(-3)\cdot 2&=&-6\\(-3)\cdot 1&=&-3\\(-3)\cdot 0&=&0\\(-3)\cdot(-1)&=&3\\(-3)\cdot(-2)&=&6\\(-3)\cdot(-3)&=&9\\(-3)\cdot(-4)&=&12\\(-3)\cdot(-5)&=&15\end{array}

Deducimos entonces que menos por menos es más. Así todo cuadra y el universo sigue siendo un lugar con sentido. Sin embargo, podemos preguntarnos: ¿funcionará esto siempre con cualquier número? Es decir, que a lo mejor ha sido casualidad por utilizar la tabla del 3, y con otra no funciona. ¿No podría ser?

Vale, pues vamos a generalizar esta estrategia. Realicemos todos los pasos desde el principio, pero sin atarnos a ningún número en particular. Nuestra primera tabla quedaría así:

\displaystyle \begin{array}{ccl}x\cdot 5&=&x+x+x+x+x\\x\cdot 4&=&x+x+x+x\\x\cdot 3&=&x+x+x\\x\cdot 2&=&x+x\\x\cdot 1&=&x\\x\cdot 0&=&0\end{array}

En la columna de la derecha, la de los resultados, lo que hacemos cada vez es restar x del resultado inmediatamente superior. Continuemos la secuencia:

\displaystyle \begin{array}{ccl}x\cdot 5&=&x+x+x+x+x\\x\cdot 4&=&x+x+x+x\\x\cdot 3&=&x+x+x\\x\cdot 2&=&x+x\\x\cdot 1&=&x\\x\cdot 0&=&0\\x\cdot (-1)&=&-x\\x\cdot (-2)&=&-x-x\\x\cdot (-3)&=&-x-x-x\\x\cdot (-4)&=&-x-x-x-x\\x\cdot (-5)&=&-x-x-x-x-x\end{array}

Y ahora, como hicimos al principio, probamos lo que pasa con los negativos:

Que continuamos así:

\displaystyle \begin{array}{ccl}(-x)\cdot 5&=&-x-x-x-x-x\\(-x)\cdot 4&=&-x-x-x-x\\(-x)\cdot 3&=&-x-x-x\\(-x)\cdot 2&=&-x-x\\(-x)\cdot 1&=&-x\\(-x)\cdot 0&=&0\\(-x)\cdot(-1)&=&x\\(-x)\cdot(-2)&=&x+x\\(-x)\cdot(-3)&=&x+x+x\\(-x)\cdot(-4)&=&x+x+x+x\\(-x)\cdot(-5)&=&x+x+x+x+x\end{array}