Question

Dos personas ubicadas a ambos lados de una torre observan su extremo

superior bajo ángulos de elevación de 28° y 36°. Considerando que la

distancia que separa a ambas personas es de 120 metros, estimar la altura

de la torre.​

Answer 1

La altura de la torre es de aproximadamente 36,842 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno

Representamos la situación en un imaginario triángulo oblicuángulo ABC el cual está conformado por el lado AC (lado b) y el lado BC (lado a) que representan respectivamente las distancias desde el observador 1  y el observador 2 hasta el extremo superior de la torre, con sus respectivos ángulos de elevación  y el lado AB es la distancia de separación entre los observadores.

Las relaciones entre los lados y ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallando el valor del ángulo γ    

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180\° = 28\°+ 36\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 28\°- 36\° }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 116\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Distancia lado b - Observador 1  

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(36\° ) } = \frac{ 120 \ m}{sen(116\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 120 \ m \ . \ sen(36\° ) }{sen(116\°) } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 78,476 \ m } }}$

La distancia del Observador 1 a la cima de la torre es ≅ 78,476 m      

Distancia lado a - Observador 2

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(28\° ) } = \frac{ 120 \ m}{sen(116\°) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 120 \ m \ . \ sen(28\° ) }{sen(116\°) } }}$

$\boxed { \bold { a \approx 62,680 \ m } }}$

La distancia del Observador 2 a la cima de la torre es ≅ 62,680 m  

Altura de la torre

La altura de la torre divide al triángulo en dos triángulos rectángulos.

Donde conocemos sus hipotenusas.

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Conociendo las hipotenusas, podemos hallar el cateto opuesto - que es la altura de la torre- relacionando con el seno

Sin importar cual de los triángulos rectángulos tomemos

Observador 1

$\boxed { \bold { sen(28\°) = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(28\°) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ a \ cima \ torre } }}$

$\boxed { \bold { altura\ torre = distancia \ a \ cima \ torre \ . \ sen (28\°) }}$

$\boxed { \bold { altura\ torre = 78,476 \ m \ . \ sen (28\°) }}$

$\large\boxed { \bold { altura\ torre \approx 36,842 \ m }}$

Resolvemos para el otro triángulo para comprobar que se llega al mismo resultado

Observador 2

$\boxed { \bold { sen(36\°) = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(36\°) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ a \ cima \ torre } }}$

$\boxed { \bold { altura\ torre = distancia \ a \ cima \ torre \ . \ sen (36\°) }}$

$\large\boxed { \bold { altura\ torre \approx 36,842 \ m }}$

Método alternativo

En el triángulo oblicuángulo empleamos la estrategia de la altura, tal que esta lo divida en dos triángulos rectángulos

Relacionándose esto con los senos de los ángulos  

Luego

La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no sea la base) por el seno del ángulo que tal lado forma con la base

$\boxed { \bold { h = lado \ a \ . \ sen(\beta ) }}$

$\boxed { \bold { h= lado \ b \ . \ sen(\alpha ) }}$

Con el valor de los lados a y b  y los ángulos que ambos lados forman con la base, podemos hallar la altura de la torre

Podríamos emplear uno sólo de los lados y el ángulo correspondiente

Se resolverá para los dos triángulos para comprobar que se llega al mismo resultado

Lado b

$\boxed { \bold { h= b \ . \ sen(\alpha ) }}$

$\boxed { \bold { h= 78,476 \ m \ . \ sen(28\°) }}$

$\large\boxed { \bold { h \approx 36,842 \ m }}$

Lado a

$\boxed { \bold { h= a \ . \ sen(\beta ) }}$

$\boxed { \bold { h = 62,680 \ m \ . \ sen (36\°) }}$

$\large\boxed { \bold { h \approx 36,842 \ m }}$