Respuestas
x & = & \displaystyle x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a t^2 \\
v & = & v_0 + a t \\
\end{array}
Si elevamos al cuadrado la segunda nos queda
v^2 = v_0^2 + 2v_0at + a^2 t^2 = v_0^2 + 2a\left(v_0t + \frac{1}{2}at^2\right)= v_0^2+2a(x-x_0)
Despejando de aquí
a = \frac{v^2-v_0^2}{2(x-x_0)}
Llevando esto al límite obtenemos la relación general
a = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(v^2)
esto es, en un movimiento uniformemente acelerado se obtiene una recta en la gráfica de v2 frente a x, no en la de v(x).
En el primer tramo tenemos
v_0 = 260\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 72.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} v_1 = 340\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} x_1-x_0 = 800\,\mathrm{m}
lo que nos da la aceleración
a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=2.31\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.24\,g
En el segundo tramo, en que el movimiento es uniforme, la aceleración es nula.
a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
En el tercer tramo operamos del mismo modo
v_2 = v_1 = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} v_3 = 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 22.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} x_3-x_2 = 150\,\mathrm{m}
y nos queda la aceleración
a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -28.1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -2.86\,g
Vemos que la aceleración es mucho más intensa en la frenada que en el tramo acelerado.
Red Bull
Operando igualmente, en el primer tramo tenemos
v_0 = 280\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 77.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} v_1 = 320\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 88.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} x_1-x_0 = 500\,\mathrm{m}
y queda la aceleración
a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=1.85\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.19\,g
En el segundo tramo la aceleración es nula.
a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
y en el tercer tramo vale
v_2 = v_1 = 89.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} v_3 = 90\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 25.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} x_3-x_2 = 120\,\mathrm{m}
a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -30.3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -3.10\,g
3 Velocidad media
La velocidad media se define como la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla
v_m = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
En este caso, conocemos cuál es la distancia recorrida por los dos pilotos, pero aun no conocemos el tiempo empleado en recorrerla.
En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, si conocemos el incremento de velocidades, podemos obtener el tiempo en recorrer un tramo como
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta v}{a}
Sustituyendo la expresión de la aceleración obtenemos en función de las posiciones y la distancia
\Delta t = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2}
En un movimiento uniforme, simplemente
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta x}{v}
que es un caso particular de la anterior para v0 = v1.
Esto nos da para el Ferrari
\Delta t_1 = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2} = 9.60\,\mathrm{s} \Delta t_2 = \frac{x_2-x_1}{v_1}=\frac{350\,\mathrm{m}}{94.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=3.71\,\mathrm{s} \Delta t_3 = \frac{x_3-x_2}{(v_3+v_3)/2} = 2.57\,\mathrm{s}
En total
\Delta =\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3 = 15.88\,\mathrm{s}
La velocidad media de este coche es igual a
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1300\,\mathrm{m}}{15.88\,\mathrm{s}}=81.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=294.8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Operando del mismo modo para el Red Bull obtenemos
\Delta t_1 = 6.00\,\mathrm{s}\qquad \Delta t_2 = 7.65\,\mathrm{s}\qquad\Delta t_3 = 2.1\,\mathrm{s}
y en total
\Delta t = 15.75\,\mathrm{s}
siendo la velocidad media
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1300\,\mathrm{m}}{15.75\,\mathrm{s}}=82.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=297.0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Vemos que aunque el Red Bull posee menor velocidad punta y menor aceleración, realiza el trayecto en una décima menos que el Ferrari. Las claves son
Posee mayor velocidad en las curvas, esto es, parte y acaba con mayor velocidad que el coche rojo.
Recorre una mayor distancia a la velocidad punta.
4 Gráficas
4.1 Frente al tiempo
Si representamos la velocidad frente al tiempo obtenemos en cada caso una línea quebrada, primero ascendente, luego horizontal y por último descendente
Si representamos la posición frente al tiempo para ambos monoplazas obtenemos una combinación de rectas y arcos de parábola, muy próximas. Si incluimos la distancia entre los dos coches, vemos que el Ferrari llega a alcanzar al Red Bull, pero en la frenada lo pierde,
4.2 Frente a la posición
La gráfica de la velocidad frente a la posición no es una línea recta, salvo en el caso del movimiento uniforme.
Para un movimiento uniformemente acelerado obtenemos la expresión correcta despejando en la ecuación que escribimos más arriba
v = \sqrt{v_0^2+2a(x-x_0)}
Si lo que conocemos es la velocidad en dos puntos
v = \sqrt{v_0^2+(v_1^2-v_0^2)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}}