Question

Hola me super urge que me ayuden con estos pequeños ejercicios de incognita:
determinar el valor de x

1) Log5 (3x-2) = 1 + Log5(el cinco va abajo de la g) (x-4)

2) (2^x) (6^x+3) = 216

Nota: el simbolo ^ significa "elevado a "

Por favor se los agradeceria mucho

Answer 1

Hola Dayana, seria asi:

$\log _5\left(3x-2\right)=1+\log _5\left(x-4\right)$

Como tenemos una constante que es 1 se aplica la siguiente regla donde "a" es la constante:

$a=\log _b\left(b^a\right)$

Entonces:

$1=\log _5\left(5^1\right)$

Ahora proseguimos:

$\log _5\left(3x-2\right)=\log _5\left(5^1\right)+\log _5\left(x-4\right)$

Como todos los logaritmos tienen la misma base, se toman sus argumentos y se multiplican:

$\log _5\left(3x-2\right)=\log _5\left(5^1\left(x-4\right)\right)$

Como los logaritmos son de misma base en los dos lados de la igualdad se simplifican quedando sus argumentos:

$3x-2=5^1\left(x-4\right)$

Como sabemos que todo numero elevado a la 1 es el mismo numero pues, solo se multiplica el 5 por los otros terminos:

$3x-2=5\left(x-4\right)$

$3x-2=5x-20$

$5x-20-3x+2=0$

$2x-18=0$

$x=9$

Ese seria el valor de X en el primer ejercicio, ahora vamos con el otro:
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Ejercicio 2:
"""""""""""""

$\left(2^x\right)\:\left(6^{x+3}\right)\:=\:216$

$2^x\cdot \:6^x\cdot \:6^3=216$

Se divide los dos lados de la igualdad para simplificar:

$\frac{2^x\cdot \:6^x\cdot \:6^3}{6^3}=\frac{216}{6^3}$

$2^x\cdot \:6^x=1$

Terminos con el mismo exponente, se conserva el exponente y se multiplican sus bases:

$\left(2\cdot \:6\right)^x=1$

$12^x=1$

Aplicamos logaritmo a los dos lados de la igualdad:

$\ln \left(12^x\right)=\ln \left(1\right)$

Esto para bajar la variable X por la siguiente regla:

$\log _a\left(x^b\right)=b\cdot \log _a\left(x\right):\quad \ln \left(12^x\right)=x\ln \left(12\right)$

Seguimos:

$x\ln \left(12\right)=\ln \left(1\right)$

Logaritmo de 1 es 0:

$x\ln \left(12\right)=0$

Se transpone el logaritmo y como 0 dividido entre cualquier numero es 0:

$x=0$

Eso es todo y saludos! Dame mejor respuesta que esto lleva mucho esfuerzo hacerlo jaja asi me motivo.