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Respuesta:
Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo tardará en enfriarse a 40º C?
Explicación paso a paso:
De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a problemas de enfriamiento es \dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{A})
La ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones
En primer lugar la primera condición conocida es que para el tiempo t_{0} = 0 min, la temperatura del agua es T_{0} = 100 °C. En segundo lugar la segunda condición dada es que para el tiempo t_{1} = 10 min, la temperatura del agua es T_{1} = 80^{o}C. Además, la temperatura del ambiente donde debe enfriarse el agua es T_{A} = 25^{o}C. \dfrac{dT}{dt}=k(T-25) Es importante que observemos que la E.D.O es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, multiplicamos la E.D.O por el factor \dfrac{1}{T-25}, obteniéndose: \dfrac{1}{T-25}dT=kdt integramos ambos miembros de la ecuación
Ambas integrales son inmediatas y al resolverlas obtenemos
Ln( T-25)=kt + C
Determinando el valor de la constante de integración resultante
Para determinar el valor de la constante de integración C, se utiliza la condición T (0) = 10, es decir, se sustituye en la solución general t=0 y T = 100 , obteniendo C = Ln (75); este valor de C se sustituye en la solución general Ln\left( T-25\right) = kt + Ln(75) despejando k
K=1/10Ln(11/15)
es por ello que, el agua demora 51,94 min, es decir 51 min y 56 seg, en enfriarse de 100 °C a 40 °C.