Question

Situación 2
Una empresa de trasportes distribuye entre sus 32 pasajeros mascarillas y protectores faciales obligatorios, de acuerdo al protocolo sanitario. De ellos, 11 pasajeros requirieron mascarillas y 22 protectores faciales, 4 solicitaron ambos y el resto no requirió ninguno por contar con su propio equipo de protección. Si se elige al azar un pasajero en el bus, halla las siguientes probabilidades:
a. Escogió mascarilla
b. Escogió protector facial
c. Escogió ambos
d. No escogió alguno

Answer 1

Para resolver este ejercicio vamos a construir un diagrama de Venn.

Tenemos 32 pasajeros, por lo que el número de elementos del espacio muestral será n(Ω)=32. A partir de acá, deberías checar la imagen adjunta.

Obtención del Diagrama de Venn

Tenemos 4 pasajeros que requirieron ambos equipos de protección, por lo que en la intersección de los conjuntos será 4. Luego como en total 11 pidieron mascarillas, 11-4 = 7, entonces solamente 7 pidieron únicamente mascarillas.

De igual forma como en total 22 pidieron protectores faciales, entonces 22-4=18, SOLAMENTE 18 pidieron únicamente protectores faciales.

Finalmente como hay 32 pasajeros, y tenemos que 7 + 4 + 18 = 29 pidieron algún equipo de protección, entonces los restantes 3 tenían su propia protección.

Para no abrumarte con la notación de conjuntos, te hice un apartado OPCIONAL al final por si quieres saber como se escribe todo esto formalmente.

a. Escogió mascarilla

Denotemos A al conjunto de los pasajeros que solicitaron mascarillas. Sabemos que n(A)=11 escogieron mascarilla de un total de n(Ω)=32 pasajeros, por tanto, usando la regla de laplace, la probabilidad de que el pasajero seleccionado haya escogido mascarilla será:

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{11}{32}=0.34375$

o bien en porcentaje:

P(A) = 0.34375 × 100% = 34.375 %

R/ La probabilidad de que un pasajero elegido al azar haya elegido mascarilla es de 11/32, o bien en % de 34.375%.

b. Escogió protector facial

Denotemos B al conjunto de los pasajeros que solicitaron protector facial. Sabemos que n(B)=22. Usando la regla de laplace, la probabilidad de que el pasajero seleccionado haya escogido protector facial será:

$P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{22}{32}=0.6875$

o bien en porcentaje:

P(B) = 0.6875 × 100% = 68.75 %

R/ La probabilidad de que un pasajero elegido al azar haya elegido protección facial es de 22/32, o bien en % de 68.75%.

c. Escogió ambos

Denotemos A∩B al conjunto de los pasajeros que solicitaron ambos equipos de protección. Sabemos que n(A∩B)=4. Usando la regla de laplace, la probabilidad de que el pasajero seleccionado haya escogido ambos será:

$P(A \cap B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=0.125$

o bien en porcentaje:

P(B) = 0.125 × 100% = 12.5 %

R/ La probabilidad de que un pasajero elegido al azar haya elegido ambos equipos de protección es de 1/8, o bien en % de 12.5%.

d. No escogió alguno

Denotemos Ω \ A∪B al conjunto de los pasajeros que no requirió ningún equipo porque ya contaba con el suyo. De nuestro análisis del diagrama de Venn sabemos que el número de pasajeros que no requirió equipo fue n(Ω\A∪B) = 3, por tanto, aplicando la regla de Laplace:

$P(\Omega \setminus A\cup B)=\dfrac{n(\Omega \setminus A\cup B)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{32}=0.09375$

o bien en porcentaje:

P(B) = 0.09375 × 100% = 9.375 %

R/ La probabilidad de que un pasajero elegido al azar no haya elegido algún equipo de protección es de 3/32, o bien en % de 9.375%.

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SECCIÓN OPCIONAL

Obtención del diagrama de Venn usando notación de conjuntos

Llamemos:

• A al conjunto de los pasajeros que solicitaron mascarillas.
• B al conjunto de los pasajeros que solicitaron protectores faciales.
• A∩B al conjunto de pasajeros que solicitaron ambas.
• A \ A∩B al conjunto de pasajeros que solo solicitó mascarillas.
• B \ A∩B al conjunto de pasajeros que solo solicitó protectores faciales.
• A∪B al conjunto de los pasajeros que solicitaron alguno de los implementos de protección.
• Ω \ A∪B al conjunto de los pasajeros que no requirió ningún equipo porque ya contaba con el suyo.

→ 4 solicitaron mascarillas y protectores faciales:

n(A∩B) = 4

→ 11 pasajeros solicitaron mascarillas: n(A)= 11, luego:

n(A \ A∩B) = n(A) - n(A∩B) = 11 - 4 = 7

→ 22 pasajeros solicitaron protectores faciales: n(B)=22, luego

n(B \ A∩B) = n(B) - n(A∩B) = 22 - 4 = 18

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 11 + 22 - 4 = 29

n(Ω) - n(A∪B) = 32 - 29 = 3