Question

Ginóbili hizo un lanzamiento de 3 puntos, a una distancia de 16,17 metros del aro. Al soltar la pelota, ésta se encuentra a 2,5 metros del piso. La pelota alcanza su punto más alto a 9 metros de donde estaba Ginóbili, a 7,17 metros del aro. La altura máxima que alcanza la pelota es de 4 metros. Sabiendo que el aro está a 3,5 metros de altura: a) Considerando como el origen de coordenadas el lugar de donde saltó Ginóbili, escriban la ecuación canónica de la parábola que describe la trayectoria de la pelot a. b) ¿La pelota entró en el aro o no? (consideren que par que entre no debe pasarse ni quedarse corta la trayectoria por más de 9 milímetros) c) Calculen, haciendo de cuenta que no está el aro, a qué distancia de Ginóbili la pelota tocaría el piso.

Answer 1

a) Considerando como el origen de coordenadas el lugar de donde saltó Ginóbili la ecuación canónica de la parábola que describe la trayectoria de la pelota está dada por:

$\boxed{ \bold { y = -0,0185\ (x-9)^{2} + 4}}$        

b) Sí, la pelota entró en el aro

c) Si no hubiese aro la pelota al tocar el piso se encontraría a 23,70 metros de distancia de Ginóbili

Procedimiento:

a) Considerando como el origen de coordenadas el lugar de donde saltó Ginóbili, escriban la ecuación canónica de la parábola que describe la trayectoria de la pelota

Se pide escribir la trayectoria de una pelota de basket lanzada por Manu Ginóbili con respecto a su posición

Donde sabemos que el balón describe una parábola

Considerando como origen de coordenadas el lugar de donde saltó Ginóbili

El cual está dado por el par ordenado

$\boxed { \bold{ (0, 2,5) }}$

Y donde el vértice de la parábola

Está dado por el par ordenado

$\boxed { \bold{ (9, 4) }}$

La ecuación de una parábola con vértice (h,k) es:

$\boxed {\bold{ y =a (x-h)^{2} + k}}$

$\large\textsf{Donde tenemos (0,25) como el origen de coordenadas (x,y) }\\\large\textsf{Y conocemos (9,4) como el v\'ertice (h,k) de la par\'abola }$

$\large\textsf{Para encontrar }\bold{a} \ \large\textsf{reemplazamos los puntos en: }\\\boxed {\bold{ y = a(x-h)^{2} + k}}$

$\boxed{\bold {2,5 = a (0 - 9)^{2} + 4 }}$

$\boxed{\bold {a (0 - 9)^{2} + 4 = 2,5 }}$

$\boxed{\bold {a \ . \ 81 + 4 = 2,5 }}$

$\boxed{\bold {a \ . \ 81 = 2,5 - 4 }}$

$\boxed{\bold {a \ . \ 81 = -1,5 }}$

$\boxed{\bold {a = -\frac{1,5}{81} }}$

$\boxed{\bold {a = -0,0185 }}$

$\large\textsf {Ecuaci\'on can\'onica }$

$\large\boxed{ \bold { y = -0,0185\ (x-9)^{2} + 4}}$

b) ¿La pelota entró en el aro o no? (consideren que para que entre no debe pasarse ni quedarse corta la trayectoria por más de 9 milímetros)

$\textsf{Reemplazamos en la ecuaci\'on el valor de x por la distancia de la pelota al aro }$

$\boxed { \bold{ x = 16,17 }}$

$\boxed {\bold{ y =a (x-h)^{2} + k}}$

$\boxed {\bold{ y =-0,0185 \ (16,17-9)^{2} + 4}}$

$\boxed {\bold{y= -0,0185 \ . 7,17^{2} + 4}}$

$\boxed {\bold{y= -0,0185 \ .\ 51,4089 + 4}}$

$\boxed {\bold{y= -0,95106465 + 4}}$

$\boxed {\bold{y= 3,04893535 \ metros}}$

$\large\boxed {\bold{y\approx 3,05\ metros}}$

Según el valor obtenido para la trayectoria de la pelota concluimos que

Sí, la pelota entró en el aro

c) Calculen, haciendo de cuenta que no está el aro, a qué distancia de Ginóbili la pelota tocaría el piso.

$\boxed{ \bold { y = -0,0185\ (x-9)^{2} + 4}}$

$\textsf{Vamos a expandir la ecuaci\'on }$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185\ ((x-9)(x-9)) + 4}}$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185\ ( x \ . \ x + \ x \ . -9-9x-9\ . -9 ) + 4}}$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185\ ( x^{2} -18x +81 ) + 4}}$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185 x^{2} -0,0185\ . ( -18x) -0,0185\ . \ 81 + 4}}$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185 x^{2} +0,333x -1,4985 + 4}}$

$\boxed{ \bold { y = -0,0185 x^{2} +0,333x \ + 2,5015 }}$

La recta y = 0 representa cuando la pelota se encuentra en el suelo. Para encontrar a que distancia -si no hubiera aro- de Ginóbili la pelota tocaría el piso, debemos hallar el punto en el que y = 0. Es decir, el punto en x donde cae la pelota

$\boxed{ \bold { y = -0,0185 x^{2} +0,333x \ + 2,5015 }}$

$\textsf{Igualamos la expresi\'on a 0 }$

$\boxed{ \bold { -0,0185 x^{2} +0,333x \ + 2,5015 = 0 }}$

$\textsf {Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = -0,0185, b = 0,333 y c = 2,5015 en la f\'ormula }$

$\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -0,333 \pm \sqrt{ 0,333^2 - 4\ . (-0,0185 \ . \ 2,5015) } }{2 \ . \ -0,0185} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -0,333 \pm \sqrt{ 0,110889 - 4\ . -0,04627 } }{ -0,037} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -0,333 \pm \sqrt{ 0,110889 +0,185111 } }{ -0,037} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -0,333 \pm \sqrt{ 0,296 } }{ -0,037} }}$

$\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\boxed{ \bold{ x= 23,70429244, -5,70429244 }}$

El valor máximo de x cuando y = 0 representa el alcance de la pelota, por lo tanto, tomamos el valor de x positivo para su trayectoria horizontal. Además de trata de una medida de longitud.            

$\boxed{ \bold{ x= 23,70429244 \ metros }}$

$\large\boxed{ \bold{ x= 23,70 \ metros }}$

Concluyendo que si no hubiese aro la pelota al tocar el suelo se encontraría a 23,70 metros de distancia de Manu Ginóbili

Dedicado a la generación dorada. Quizás el mejor equipo de la historia del deporte argentino