Asignatura: Matemáticas
Autor: JEVIMskwkw
hace 5 años

En un centro nutricional, se planea preparar dos platos de comida P1 y P2. Cada gramo de P1 proporciona 3 unidades de una vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Cada gramo de P2 proporciona 1 unidad de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Los dos platos tienen que proporcionar por lo menos 12 unidades de vitamina A y por lo menos 8 unidades de vitamina B. Si cada gramo de P1 cuesta 10 soles y cada gramo de P2 cuesta 15 soles, determine el mínimo costo que pueden tener los platos.

Respuestas

Respuesta dada por: MichaelSpymore1

Respuesta: Coste mínimo de 40 soles✔️con 4 gramos del plato 1 y 0 gramos del plato 2

Llamaremos x e y a los gramos producidos de los platos 1 y 2 respectivamente.

La función objetivo es el coste de los platos 1 y 2 producidos que tiene que ser mínimo:

Z(x,y) = $10·x + $15·y

Tenemos varias restricciones debidas a la necesidad de vitamina A y vitamina B y a los contenidos de vitaminas de cada plato.

Nos dicen las vitaminas que proporciona cada plato:

Cada gramo del plato 1 proporciona 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B:

Cada gramo del plato 2 proporciona 1 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B:

Tienen que proporcionar por lo menos 12 unidades de vitamina A y por lo menos 8 unidades de vitamina B

3x + 1y ≥ 12 unidades vitamina A } restricción (I)

2x + 2y ≥ 8 unidades vitamina B } restricción (II)

Como los gramos de los platos preparados no pueden ser negativos y tienen que ser enteros positivos, tendremos dos restricciones más:

{x ≥ 0} , {y ≥ 0}

Para hallar el conjunto de soluciones factibles vamos a representar gráficamente en el plano cartesiano las restricciones, siendo x el eje de abscisas e y el eje de ordenadas.

Como las dos variables son positivas, utilizaremos solo el primer cuadrante.

Tenemos dos rectas (I) y (II)

y = - 3x + 12 } (I)

y = - x + 4 } (II)

Coordenadas de los puntos de la región factible :

y = - 3x + 12

y = - 0 +12 = 12

Punto A(0,12) punto de corte de la recta (I) con el eje de ordenadas

y = - 3x + 12

0 = - 3x + 12

x = 12/3 = 4

Punto B(4,0) punto de corte de la recta (I) con el eje de abscisas

y = - x + 4 y = - 0 + 4 = 4

Punto C(0,4) punto de corte de la recta (II) con el eje de ordenadas

y = - x + 4 0 = - x + 4 x = 4

Punto D(4,0) punto de corte de la recta (II) con el eje de abscisas

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (I) y (II) para encontrar el punto de intersección:

y = - 3x + 12 } (I)

y = - x + 4 } (II)

Igualamos ambas expresiones que son iguales a y

- 3x + 12 = - x + 4

-3x+x = 4 - 12

-2x = -8

x = -8/-2 = 4 coordenada x

Sustituyendo este valor en la ecuación 2 hallamos la coordenada y

y = - x + 4 } (II)

y = - 4 + 4 = 0 coordenada y

El punto de intersección es (E)(4,0)

[VER GRÁFICA ADJUNTA]

Como las rectas indican las necesidades mínimas de vitaminas, la zona factible es la región del primer cuadrante por encima de las dos rectas que es la que cubre las necesidades mínimas de las dos vitaminas; está indicada en amarillo.

Sustituyendo los vértices de la zona factible en la función objetivo, determinamos el coste mínimo de los platos que tengan las vitaminas necesarias.

Z(x,y) = $10·x + $15·y } Función objetivo [coste de los platos]

Vértice A(0,12) punto de corte de la recta (I) con el eje de ordenadas

Z(0,12) = $10·0 + $15·12 = $180

Vértice (E)(4,0) (intersección rectas)

Z(4,0) = $10·4 + $15·0 = $40 (coste mínimo)

Vértice D(4,0) punto de corte de la recta (II) con el eje de abscisas

Z(4,0) = $10·4 + $15·0 = $40 (coste mínimo)

Vemos que el coste mínimo con las restricciones impuestas se produce en el punto (E)(4,0)

Es decir que con 4 gramos del plato 1 y 0 gramos del plato 2 se consiguen las vitaminas necesarias con un coste mínimo de $40.

Respuesta: Coste mínimo de 40 soles✔️con 4 gramos del plato 1 y 0 gramos del plato 2