Question

Halla el valor de M:​

Answer 1

Hola :D

Se pide simplificar:

$M=\dfrac{2^{n}+2^{n+2} +2^{n-1} }{2^{n-2} }$

Lo que se busca es un factor común tanto en numerador como denominador, ya que así dicho factor se vuelve $1$.

Siempre nos debemos fijar en la expresión con menor grado (exponente más pequeño), en nuestro caso es: $2^{n-1}$, la cual se encuentra en el numerador.

Entonces:

$M=\dfrac{(\dfrac{2^{n-1} }{2^{n-1} })(2^{n}+2^{n+2}+2^{n-1}) }{2^{n-2} }$

Si te das cuenta el nuevo término que añadí es $1$ (simplificado), pero lo vamos a aprovechar, para ello sólo haremos la división, no la multiplicación:

$M=\dfrac{2^{n-1}(\dfrac{2^{n} }{2^{n-1} } +\dfrac{2^{n+2} }{2^{n-1} } +\dfrac{2^{n-1} }{2^{n-1} }) }{2^{n-2} }$

Aquí aplicamos una propiedad de los exponentes:

$\boxed{\frac{a^{m} }{a^{n} }=a^{m-n} }$

Es decir, al dividir bases iguales, los exponentes se restan.

$M=\dfrac{2^{n-1}(2^{n-(n-1)} +2^{n+2-(n-1)} +2^{n-1-(n-1)} ) }{2^{n-2} }\\ M=\dfrac{2^{n-1}(2^{1} +2^{3}+1) }{2^{n-2} }$

Ahora, para que en el denominador nos quede lo mismo hacemos una descomposición, la cual será:

$M=\dfrac{\cancel{2^{n-1}}(2^{1} +2^{3}+1) }{\cancel{2^{n-1}} \times 2^{-1} }\to \texttt{Se simplifica}$

Lo que hice fue aplicar otra propiedad de los exponentes:

$\boxed{a^{m}\times a^{n}=a^{m+n} }$

Al multiplicar las mismas bases, los exponentes se suman.

Entonces: $2^{n-1} \times 2^{-1}=2^{n-1-1}=2^{n-2}$.

Sólo haré una observación:

$\bold{2^{-1}=\dfrac{1}{2} }$

Continuemos:

$M=\dfrac{2+8+1}{\dfrac{1}{2} }\to M=\dfrac{\dfrac{11}{1} }{\dfrac{1}{2} }\\ \boxed{\bf{M=22}}$

Lo que se hizo fue aplicar extremos y medios, se multiplica el numerador con de la primer fracción con el denominador de la segunda, etc.

Espero haberte ayudado, saludos cordiales AspR178 !