Question

Determine el centro y la ecuación general de la circunferencia pequeña.

Answer 1

Respuesta:

El centro de la circunferencia es La ecuación es $A=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ y la ecuación general es  $x^2+y^2-4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+15=0$

Explicación paso a paso:

Notese que el $\triangle OBA$ es un triángulo rectángulo con catetos de longitud $x_A$ y $y_A$ tal que $A=(x_A, y_A)$ y $x_A=y_A$. Por el teorema de Pitágoras se tiene:

$x_A^2+y_A^2=4^2\Leftrightarrow 2x_A^2=16 \Leftrightarrow x_A^2=\frac{16}{2}\Leftrightarrow x_A=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

de donde el centro de la circunferencia pequeña es $A=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

Por otro lado, sea $C=(x, y)$ un punto arbitrario sobre la circunferencia pequeña, es decir la circunferencia con centro en $A=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ y radio $1$. Al calcular la distancia entre $C$ y $A$ se tiene la ecuación ordinaria asociada a dicha circunferencia. A saber

$1=1^2=d(C, A)^2=\left(x-2\sqrt{2}\right)^2+\left(y-2\sqrt{2}\right)^2$

Para determinar la ecuación general se desarrolla la anterior ecuación. Para simplificar, tomemos $k=2\sqrt{2}$

$\left(x-k}\right)^2+\left(y-k\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2-2kx-2xy+2k^2-1=0$

                                    $\Leftrightarrow x^2+y^2-4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+15=0$