Question

11. Un edificio está al lado de una colina que baja formando un ángulo de 15°. El
Sol está sobre la colina, y desde el edificio tiene un ángulo de elevación de 42°.
Calcular la altura del edificio, si su sombra mide 36 pies de longitud.

Answer 1

La altura h del edificio es de aproximadamente 22 pies

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del edificio desde el pie de la colina -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 42°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del edificio y el lado PS es el plano donde se asienta la base de la colina

Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:

El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo

Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la colina -donde se ubica el edificio- la cual tiene un ángulo de inclinación de 15° y donde conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud de la sombra proyectada por el edificio de 36 pies

Dado que lo que se pide hallar es la altura h (QR) del edificio y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado SR que es la longitud de la sombra proyectada por el edificio -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la colina- con un valor de 36 pies y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la colina en S hasta la cima del edificio. Y finalmente el lado QR que es la altura del edificio y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ

Hallamos el valor del ángulo interno en S denotado como α

Restando del ángulo de elevación al sol de 42° el ángulo de inclinación de la colina:

Teniendo:

$\boxed {\bold { \alpha =42^o -15^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 27^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q denotado como γ

El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ

Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 42°

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 42^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 42^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 48^o }}$

No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo

Calculamos la altura h del edificio (QR) empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Edificio }$

$\bold{\overline {SR} =Sombra \ Del \ Edificio = 36 \ pies }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(27 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} }{sen(48^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR} \ h }{ sen(27 ^o ) } = \frac{ 36 \ pies }{sen(48^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 36 \ pies \ . \ sen(27^o ) }{sen(48^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 36 \ pies \ . \ 0.45399049974 }{ 0.743144825477 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 16.34365799064 }{ 0.743144825477 }\ pies }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h \approx 21.99 \ pies }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{QR}\ h \approx 22\ pies }}$

La altura h (QR) del edificio es de aproximadamente 22 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas