Un contador determina que el ingreso mensual I, en soles, que obtiene una empresa de reparación de aviones comerciales, por la reparación de un número x de aviones comerciales, está dado por la función ingreso:
I(x) = 20.000x - 50x2
a) Determine cuántos aviones comerciales se deben reparar para obtener el ingreso máximo.
b) ¿Cuál será el ingreso máximo mensual?
Respuestas
Respuesta:
a) 200 b) 3.960.000 soles
Explicación paso a paso:
a) Hallar vértice (x):
x: - b y = f(x)
2a
a = -50 b = 20.000
x: -20.000 / 2 (-50) = -20.000 / - 100 = 200
b) Hallar vértice (y):
y = f(x) = 20.000x - 50x²
f(200) = 20.000 (200) - 50 (200)²
= 4.000.000 - 40.000
= 3.960.000
a) La cantidad de aviones comerciales que se deben reparar para obtener el ingreso máximo es:
200
b) El ingreso máximo mensual de una empresa de reparación de aviones comerciales es:
2.000.000 soles
¿Qué son los ingresos?
Son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.
I = p × q
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa, se está hablando de un máximo relativo.
a) ¿Cuántos aviones comerciales se deben reparar para obtener el ingreso máximo?
Siendo:
I(x) = 20.000x - 50x²
Aplicar primera derivada;
I'(x) = d/dx (20.000x - 50x²)
I'(x) = 20.000 - 100x
Igualar a cero;
20.000 - 100x = 0
Despegar x;
100x = 20.000
x = 20.000/100
x = 200 aviones
Aplicar segunda derivada;
I''(x) = d/dx (20.000 - 100x)
I''(x) = -100
La segunda derivada es negativa, se trata de un máximo relativo.
b) ¿Cuál será el ingreso máximo mensual?
Evaluar x = 200 en I(x);
I(max) = 20.000(200) - 50(200)²
I(max) = 2.000.000 soles
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