Question

1+1/x+1/x²+1/x³

Ayuda, son de las reglas de derivada ​

Answer 1

Respuesta:

$-\frac{1}{x^{2}} -\frac{2}{x^{3}} -\frac{3}{x^{4}}$ o bien $-x^{-2} - 2x^{-3} -3x^{-4}$ o bien $-\frac{x^{2}+2x+3}{x^{4}}$ (respuestas equivalentes).

Explicación paso a paso:

En primer lugar debemos saber que la derivada de una suma de términos es igual a la suma de las derivadas de los términos individuales. Además, recordemos que la derivada de $ax^{n}$ es igual a $anx^{n-1}$ (Puede visualizarse como que el exponente baja multiplicando y disminuye en uno).

Además, la derivada de una constante es igual a cero. La derivada de cualquier número "solo" en la expresión es igual a cero.

Por lo tanto, podemos escribir la expresión recordando esta propiedad:

$\frac{1}{a} = a^{-1}$, por lo que:

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} = 1 + x^{-1} + x^{-2} + x^{-3}$

A continuación, vamos a derivar la expresión usando la propiedad vista anteriormente. En primer lugar ya vimos que la derivada de una constante es cero por lo que el 1 desaparecerá de la expresión de la derivada.

En cuanto a los términos en x, el exponente multiplica y el exponente baja en uno:

$-1x^{-2} -2x^{-3} -3x^{-4} = -x^{-2} -2x^{-3} -3x^{-4}$ (el 1 se omite)

Con esto ya tendríamos una forma de expresar la derivada de la expresión, pero también podemos expresar los exponentes con signo positivo invirtiendo la expresión (propiedad que escribí antes).

$-x^{-2} -2x^{-3} -3x^{-4} = -\frac{1}{x^{2}} -\frac{2}{x^{3}} -\frac{3}{x^{4}}$

Con esto ya hemos visto dos formas de expresar la derivada de la expresión, aunque podemos reducirla a una sola fracción si igualamos denominadores. El primer término lo amplificaremos por $x^{2}$ y el segundo término por $x$. De esta forma, los tres términos tendrán denominador $x^{4}$:

$-\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = -\frac{x^{2}}{x^{4}} - \frac{2x}{x^{4}} -\frac{3}{x^{4}}$

Luego sumamos las fracciones (pues tienen igual denominador):

$-\frac{x^{2}}{x^{4}} - \frac{2x}{x^{4}} - \frac{3}{x^{4}} = \frac{-x^{2}-2x-3}{x^{4}} =-\frac{x^{2}+2x+3}{x^{4}}$

Y así es como hallamos la derivada de la expresión respecto a $x$. No sólo eso, sino que además la hemos expresado de tres formas diferentes. Espero haberte ayudado. ¡Mucho éxito!

Answer 2

Respuesta:

Buena explicación

Explicación paso a paso:

Con esto ya tendríamos una forma de expresar la derivada de la expresión, pero también podemos expresar los exponentes con signo positivo invirtiendo la expresión (propiedad que escribí antes).

-x^{-2} -2x^{-3} -3x^{-4} = -\frac{1}{x^{2}} -\frac{2}{x^{3}} -\frac{3}{x^{4}}−x

−2

−2x

−3

−3x

−4

=−

x

2

1

−

x

3

2

−

x

4

3