construimos un cilindro con las mismas dimensiones (Altura y radio de la base).
¿Qué relación encuentras en sus volúmenes?
Respuestas
Respuesta:
El prop´osito de estas actividades es que los alumnos de nivel medio desarrollen una mejor comprensi´on de la f´ormula para el volumen del cilindro (que
est´a en funci´on del radio de la base y de la altura del cilindro), y de c´omo se
altera el volumen al cambiar estas variables si se mantiene constante el ´area
de la superficie lateral (que tambi´en est´a en funci´on del radio y la altura).
Otro objetivo es que los alumnos vean la ventaja de hacer razonamientos
acerca de las cantidades (y no solamente hacer operaciones con los n´umeros
que las representan), para entender mejor la situaci´on. La notaci´on algebraica permite a los alumnos ver con mayor claridad la relaci´on entre las
cantidades, y entender el porqu´e de un resultado que a primera vista resulta
sorprendente.
Materiales. Hojas de papel tama˜no carta, cinta adhesiva, material de empaque (bolitas de poliestireno) o palomitas de ma´ız, un cart´on o superficie
plana, calculadora.
Actividad 1. Los alumnos toman una hoja tama˜no carta (21.6 cm por
27.9 cm) y forman con ella un cilindro uniendo los lados largos del rect´an1Este art´ıculo est´a basado en material presentado por Glenda Lappan en la sesi´on inaugural de la
XVIII reuni´on anual del National Council of Teachers of Mathematics, Chicago, abril de 2000.
VOLUMENES DE CILINDROS ´
gulo. Luego toman otra hoja del mismo tama˜no, y forman otro cilindro
uniendo esta vez los lados m´as cortos del rect´angulo. Los cilindros as´ı formados tienen distintas formas: uno es angosto y largo, y el otro es m´as
ancho y m´as bajo (figura 1).
FIGURA 1. Dos cilindros constru´ıdos con rect´angulos iguales.
Al pedir a los alumnos de nivel medio que comparen los vol´umenes de
los cilindros, una respuesta inmediata muy com´un es que tienen el mismo
volumen, ya que fueron hechos con rect´angulos del mismo tama˜no. Otra
respuesta com´un es que el cilindro m´as alto tiene m´as volumen. A fin de
verificar su respuesta, los alumnos colocan el cilindro alto sobre un cart´on
y lo llenan de material de empaque o de palomitas de ma´ız. Luego vac´ıan
el contenido en el otro cilindro. Su cara refleja su sorpresa al ver que al
cilindro m´as bajo y m´as ancho le falt´o casi la cuarta parte para llenarse.
¿Por qu´e se ven iguales?
Nuestra percepci´on visual del tama˜no de las cosas est´a influida fuertemente
por la secci´on transversal que nos presentan. En el caso de los cilindros,
cuando est´an en posici´on vertical y los vemos desde un lado, de modo que el
borde superior se vea como una sola l´ınea (y no como una elipse), la secci´on
transversal est´a dada por el ´area de un rect´angulo formado por el di´ametro
del cilindro y la altura. Para hojas de tama˜no carta, los di´ametros de los dos
cilindros son 21.6/π ≈ 6.9 para el cilindro alto y angosto, y 27.9/π ≈ 8.9 XIX
G. T. LAPPAN Y A. FLORES PENAFIEL ˜
para el cilindro ancho y bajo.
El ´area de la secci´on transversal de cada cilindro es por tanto
6.9 × 27.9 ≈ 192 (alto y angosto),
8.9 × 21.6 ≈ 192 (bajo y ancho).
Es decir, las dos secciones transversales son iguales (figura 2).
FIGURA 2. Los cilindros vistos de lado.
Si utilizamos letras para las cantidades, ser´a evidente por qu´e las secciones transversales son iguales. Sea a el lado corto de la hoja tama˜no carta,
y b el lado largo (figura 3). En el caso del cilindro chaparro y bajo, como la
circunferencia es b, el di´ametro es b/π, su altura es a y el ´area de la secci´on
XX FIGURA 3. Rect´angulo de base b y altura a.
VOLUMENES DE CILINDROS ´
transversal es a × (b/π). En el otro caso el di´ametro es a/π y la altura es b,
de modo que el ´area de la secci´on transversal es b × (a/π). Vemos as´ı que
el ´area de la secci´on transversal en ambos casos est´a dada por el producto
Explicación paso a paso: