Question

simplificar y factorizar

$\frac{x^{2}-6x+8 }{x^{2} -9}$

Answer 1

Respuesta:

$\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-3)}$

Explicación:

Hola.

Observemos el numerador y denominador. En principio no se pueden simplificar más, tenemos que factorizar.

$\frac{x^2-6x+8}{x^2-9}$

Numerador:

$x^2-6x+8$, es una expresión de segundo grado, entonces puede descomponerse en un producto de dos binomios:

$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+x(a+b)+ab$

Comparando esta última expresión con el numerador podemos afirmar lo siguiente:

$a+b=-6$   ,    $ab=8$

Algunos profesores dirían que tenemos que encontrar dos números que sumados den $-6$ y que esos mismo multiplicados den $8$.

Para no hacer la explicación más larga, esos números son -2 y -4: si se suman el resultado es -6, si se multiplican, 8. Entonces tenemos el producto de binomios de la siguiente forma:

$(x-2)(x-4)$     (Si lo resolvemos debemos llegar a la misma expresión del numerador).

$(x-2)(x-4)=x^2-4x-2x+8=x^2-6x+8$    (Sólo lo hago para comprobar)  

Denominador:

Cuando tenemos el cuadrado de un número menos el cuadrado de otro nos indica que ahí hubo un producto de binomios conjugados:

$(x+a)(x-a)=x^2-ax+ax-a^2=x^2-a^2$

Claramente se observa que tenemos un número elevado al cuadrado $x^2$ menos otro número al cuadrado $3^2=9$. Entonces encontramos ese producto notable:

$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$

Ahora sustituimos las expresiones factorizadas en la fracción:

$\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-3)}$

Como observamos, ningún binomio en el numerador es igual a alguno del denominador, no se puede reducir más y factorizamos al máximo, por lo tanto el problema está resuelto.

Saludos!