Question

A partir de la definición de derivada demuestre la derivada de las siguientes funciones.

a. f(x)=√+1

Answer 1

Respuesta:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Explicación paso a paso:

$f(x)=\sqrt{x+1}\\\textbf{Aplicando la definici\'on de la derivada}\\f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\f'(x)=\lim_{h\to0}{\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h}}\\\textbf{Para continuar, racionalizamos el numerador,obteniendo:}\\\\f'(x)=\lim_{h\to0}{\left[\left(\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h}\right)*\left(\frac{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}}\right)\right]}\\\textbf{Desarrollando y simplificando:}\\\\f'(x)=\lim_{h\to0}{\left[\frac{(\sqrt{x+h+1})^{2}-(\sqrt{x+1})^{2}}{h*\left(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}\right)}\right]}=\lim_{h\to0}{\frac{x+h+1-(x+1)}{h*\left(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}\right)}}=\\\\=\lim_{h\to0}{\frac{\cancel{x}+\cancel{h}+\cancel{1}-\cancel{x}-\cancel{1}}{\cancel{h}*\left(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}\right)}}=\lim_{h\to0}{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}}}\\\textbf{Evaluando:}\\\\f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x+0+1}+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$