Question

Una máquina pulidora gira inicialmente con una velocidad angular de 90rad/s, si se detiene en 8 seg. Calcular:
a) el desplazamiento angular antes de detenerse
b) velocidad angular final 2 segundos antes de detenerse



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Answer 1

a) El desplazamiento angular antes de detenerse es de 360 radianes

b) La velocidad angular final 2 segundos antes de detenerse es de 22,5 rad/s

Procedimiento:

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Donde      

${\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 90 \ rad/s }}$

${\textsf{Tiempo en deternerse } \ \ \ \bold { t = 8 \ s }}$

${\textsf{Velocidad angular final } \ \ \ \bold { \omega = 0 }}$

a) Hallamos el desplazamiento angular θ antes de detenerse a los 8 segundos

Primero calculamos la aceleración

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega-\omega_0}{t}=\dfrac{0-90 \;rad/s}{8\;s}=-11.25\;rad/s^2}}}$

La aceleración angular es negativa, por tanto, el desplazamiento angular ocurre más lento según transcurre el tiempo. El cuerpo está desacelerando

El ángulo recorrido θ  en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

$\boxed {\bold { \theta = \omega_{0t}+ \frac{1}{2} at^{2} }}$

Con la aceleración hallada calculamos el desplazamiento angular

$\boxed {\bold { \theta = \ ( 90 \ rad/s )(8 \ s )+ \frac{1}{2} (-11,25 \ rad/s^{2}) (8 \ s)^{2} }}$            

$\boxed {\bold { \theta = \ ( 90 \ rad/s )(8 \ s )+ \frac{1}{2} (-11,25 \ rad/s^{2}) (64 \ s^{2}) }}$

$\boxed {\bold { \theta = \ ( 90 \ rad/s )(8 \ s )+ \frac{1}{2} (-11,25 \ rad/s^{2} \ .\ 64 \ s^{2}) }}$

$\boxed {\bold { \theta = 720 \ rad - 360 \ rad }}$

$\boxed {\bold { \theta =360 \ rad }}$

b) Hallamos la velocidad angular final 2 segundos antes de detenerse

La velocidad angular disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo.

Si la pulidora se detiene para un tiempo t de 8 segundos y se pide hallar la velocidad angular final para 2 segundos antes de detenerse, luego tomamos un valor de tiempo t de 6 segundos

Luego podemos calcular la velocidad angular en el instante t = 6 como

$\boxed {\bold { \omega = \omega_{0} + \alpha t }}$

Como la aceleración angular es negativa, estamos en presencia de un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

Donde

${\bold { \omega_{0} } \ \ \textsf{Velocidad angular inicial }}$

${\bold { \alpha } \ \ \ \textsf{Aceleraci\'on }}$

${\bold { t } \ \ \ \textsf{Tiempo }}$

$\boxed {\bold { \omega = 90 \ rad/s + (-11,25 \ rad/s^{2} ) (6 \ s) }}$

$\boxed {\bold { \omega = 22,5 \ rad/s }}$