Question

( Algebra Lineal )
encontrar las coordenadas del vector [x,y,z]de R3 respecto a la base 
B={ (1,0,0) (0,0,1) (1,1,1) }

Answer 1

Utiliza matrices, el cambio de base.
Sabemos que X=BX', siendo B la matriz del cambio de base de X a X'. La matriz de cambio de base de X a X' se construye por columnas, poniendo las coordenadas del vector X' (coordenadas del vector $(x,y,z)$ respecto a B) en función de los de X (coordenadas del mismo vector con respecto a la base canónica).
En otras palabras: Hay que poner los vectores de la base canónica $\left\[ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\right\}$ en función de los vectores de la base B.
Es decir:
$\left \{ \begin{matrix} {(1,0,0)=a_1\cdot (1,0,0)+a_2\cdot (0,0,1)+a_3\cdot(1,1,1)} \\ {(0,1,0)=b_1\cdot (1,0,0)+b_2\cdot (0,0,1)+b_3\cdot(1,1,1)} \\ {(0,0,1)=c_1\cdot (1,0,0)+c_2\cdot (0,0,1)+c_3\cdot(1,1,1)} \end{matrix}$
Cuando hayamos resuelto el sistema, la matriz del cambio de base será:
$B_{Can\to Nueva}= \left( \begin{matrix} {a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3} \end{matrix} \right)$
En este caso, cuando resolvemos la matriz, obtenemos la siguiente matriz del cambio de base:
$B_{Can\to Nueva}= \left( \begin{matrix} {1&-1&0\\0&-1&1\\0&0&0} \end{matrix} \right)$
Y la ecuación que te da la solución (pongas el vector (x,y,z) que quieras es:
$\left( \begin{matrix} {x'\\y'\\z'} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} {1&-1&0\\0&-1&1\\0&0&0} \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} {x\\y\\z} \end{matrix} \right)$