Question

limit (x^2+2x-8)/(x^4-16), X->2

Answer 1

Lim (x²+2x-8)/(x⁴ - 16)
x→2

Reemplazamos x por 2, entonces:

Lim (x²+2x-8)/(x⁴ - 16)  = (2²+2(2) - 8) / (2⁴-16) = (8-8)/(16-16)=0/0
x→2


Vemos que este  limite es de la forma 0/0 , por lo tanto, tenemos que factorizar para evitar la indeterminacion.

Factorizemos el numerador y el denominador, de la funcion racional, del que deseamos obtener el limite.

x²+2x-8 = x² +4x-2x -8 = x(x+4) - 2(x+4) = (x+4)(x-2)

(x⁴ - 16) = (x²-4)(x²+4).......(diferencia de cuadrados)
            = (x-2)(x+2)(x²+4)

Luego, reemplazamos en el limite:

Lim (x²+2x-8)/(x⁴ - 16) = Lim (x+4)(x-2) / (x-2)(x+2)(x²+4)
x→2                              x→2

Simplificamos el (x-2)

Lim (x²+2x-8)/(x⁴ - 16) = Lim (x+4) / (x+2)(x²+4)
x→2                              x→2

Reemplazamos x por 2.
             
Lim (x²+2x-8)/(x⁴ - 16)=Lim (x+4) / (x+2)(x²+4)  =(2+4)/(2+2)(2²+4)=6/4(8) =6/32
x→2                           x→2                                                                  =3/16


L = 3/16

Answer 2

Aca te dejo en formato imagen el ejercicio resuelto.


Saludos desde Argentina.