Question

Hallar el número de términos y la razón de una P.G. cuyo primer término es 7 y el último 567 y la suma de todos los términos es 847

Answer 1

Respuesta:

n=5

r=3

Explicación paso a paso:

Datos:

n=? , número de términos de la Progresión geométrica.

r=? , razón de P.G.

a1=7 , primer término.

an=567 , último término.

Sn=847

Por definición se tiene:

Término enésimo(an):

an=a1×(r)^(n-1) ,Reemplazando valores:

567=7×(r)^(n-1) ---> r^(n-1)=567/7

r^(n-1)=81

(r^n)(r^(-1))=81 ---> (r^n)(1/r)=81

r^n=81/(1/r) = 81r

r^n=81r

Suma de n términos:

Sn=a1×[(r^n -1)/(r-1)] ---> 847=7×[(r^n -1)/(r-1)]

(r^n -1)/(r-1) = 847/7 = 121

(r^n -1)/(r-1) = 121

• Cálculo de la razón (r):

Reemplazando el valor de r^n:

(81r-1)/(r-1) =121 ---> 81r-1=121(r-1)

81r-1=121r-121 ---> 81r-121r= -121+1

-40r= -120 ---> (-1)(-40r)=(-1)(-120)

40r=120 ---> r=120/40 = 3

r=3

• Cálculo del número de términos(n):

r^n=81r ,Reemplazando el valor de r:

(3)^n = 81(3) ---> (3)^n =(3^4)(3)

(3)^n = 3^5 ---> n=5

n=5

• Cálculo de a2(segundo término):

a2=a1×(r)^(n-1) = (7)(3)^(2-1) = (7)(3^1) =(7)(3)=21

a2=21

Y así sucesuvamente se calcula:a3 y a4.

Entonces la Progresión geométrica queda de la siguiente forma:

P.G. : 7,21,63,189,567.