Question

el problema dice: dos trenes parten simultaneamente de una misma estacion, en direcciones tales que forman un angulo de 30° uno va a 15km/h y el otro a 25km/h. determinar a que distancia se encuentran separados despues de 2 horas de viaje

Answer 1

La distancia que separará a los trenes después de 2 horas de viaje es de aproximadamente 28,318 kilómetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden determinar la distancia que existe entre dos trenes los cuales partieron simultáneamente de la misma estación al cabo de dos horas de viaje, donde cada una de las direcciones de los forman un ángulo de 30°

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde

El lado AC (lado b) representa la trayectoria del tren que va a una velocidad de 15 km/h, el lado BC (lado a) equivale a la trayectoria del tren que va a una velocidad de 25 km/h, donde ambos salieron de la misma estación con rumbos distintos formando sus direcciones un ángulo de 30° y el lado AB (lado c) conforma la distancia de separación que habrá entre ambos trenes después de dos horas de viaje.

Se pide hallar la distancia entre ambos trenes después de 2 horas de viaje que es el lado AB (lado c) en el triángulo.

Hallando la distancia de recorrido de los trenes al cabo de 2 horas

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ . \ Tiemoo } }}}$

Hallamos la distancia recorrida por el tren A

$\boxed {\bold { Distancia \ Tren \ A = 15 \ km/h \ . \ 2 \ horas } }}}$

$\boxed {\bold { Distancia \ Tren \ A = 30 \ km } }}}$

Hallamos la distancia recorrida por el tren B

$\boxed {\bold { Distancia \ Tren \ B = 25 \ km/h \ . \ 2 \ horas } }}}$

$\boxed {\bold { Distancia \ Tren \ B = 50 \ km }}}$

$\large\textsf{ El Tren A va a una velocidad de 15 km/h } }}\\\large\textsf{ El Tren A en dos horas se encontrar\'a a 30 km de la estaci\'on } }}$

$\large\textsf{ El Tren B va a una velocidad de 12 km/h } }}\\\large\textsf{ El Tren B en dos horas se encontrar\'a a 50 km de la estaci\'on } }}$

Hallando la distancia de separación entre ambos trenes al cabo de 2 horas de viaje

Lado AB - lado c

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma ) }}}$

o

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { c^{2} = 50^{2} + 30^{2} - 2 \ . \ 50 \ . \ 30 \ . \ cos(30\° ) }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 30\° es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 50^{2} + 30^{2} - 2 \ . \ 50 \ . \ 30 \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 2590 + 900 - \ 50 \ . \ 30 \ . \ \ \sqrt{3} }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 3400 - \ 1500 \sqrt{3} }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} =\sqrt{ 10^{2} (34-15 \sqrt{3} ) } }}}$

$\boxed {\bold { c = 10 \ . \ \sqrt{ (34-15 \sqrt{3} ) }}}$

$\boxed {\bold { c = 10 \ . \ \sqrt{ 8,01923 }}}$

$\boxed {\bold { c = 10 \ . \ 2,8318245 }}}$

$\boxed {\bold { c \approx 28,318245 \ km }}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx \ 28,318 \ km }}}$