Question

89. Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?.

Answer 1

Respuesta:

15 360

Explicación paso a paso:

f (x) = (24 + x) (600 - 15x) = -15x2 + 240x + 14400

f (x) = -30x + 240

f (x) = 0

-30x + 240 = 0  

x = $\frac{240}{30}$ = 8

X = 8

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 + 8 =  32 árboles, que producirán 15360 frutos.

Answer 2

Para tener la producción máxima se deben plantar en total 8 arboles adicionales que sumarían 32 arboles en total, y la producción total seria de 15360

Para determinar el cual es el numero máximo de arboles plantados que deben tener la huerta para que la producción se máxima, debemos determinar la ecuación que describe la producción.

Se asume que:

• X: Cantidad adicionales de arboles a plantar

a) Ecuaciones de producción de arboles.

• Nro de arboles (x) = 24 + X
• Cantidad de frutos (x) = 600 - 15*X
• Producción(x)= Nro de arboles (x) * Cantidad de frutos (x)

Ecuación.

        Producción(x)= (24 + X) * (600 - 15*X)

        Producción(x)= 24*600 -24*15*X + 600*X - 15*X*X

        Producción(x)= 14400 - 360*X + 600*X - 15*X²

        Producción(x)= 14400 + 240*X - 15*X²

Para encontrar los máximos de una ecuación, la misma se debe derivar e igualar a cero, por ende:

        Producción(x)= 14400 + 240*X - 15*X²

        Producción'(x)= 240 - 15*2*X

        Producción'(x)= 0

        240 - 15*2*X = 0

        30*X = 240

        X = 240 / 30

        X = 8

Sustituyendo en las ecuaciones de producción iniciales.

• Nro de arboles (x) = 24 + X
• Nro de arboles (8) = 24 + 8
• Nro de arboles (8) = 32

• Cantidad de frutos (x) = 600 - 15*X
• Cantidad de frutos (8) = 600 - 15*8
• Cantidad de frutos (8) = 480

• Producción(x)= Nro de arboles (x) * Cantidad de frutos (x)
• Producción(x)= 32 * 480
• Producción(x)= 15360

Por lo tanto, para obtener la producción máxima se deben plantar en total 8 arboles adicionales que sumarían 32 arboles en total, y la producción total seria de 15360

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