Question

AYUDA, EXPLICAR COMO RESOLVER LO SIGUIENTE:
(a-b)⁴ y (a+b)⁴

Answer 1

(a-b)⁴ el exponente ⁴ significa multiplicar 4 veces este mismo termino:

(a-b)*(a-b)*(a-b)*(a-b).

Hay que recordar que de acuerdo a la multiplicación de signos:

+*- = -
-*+ = -
+*+= +
-*-=+

La multiplicación de 2 términos que es encuentra entre paréntesis significa que todos los términos se multiplican entre si, es decir, en la multiplicación, por ejemplo, (a-b)*(c-d), se multiplica (a*c)+(a*-d)+(-b*c)+(-b*-d) y al aplicar leyes de signos queda como: ac-ad-bc+bd.

Entonces en nuestro ejercicio, resolvámoslo por partes:
tomemos los dos primeros términos:
(a-b)*(a-b) = (a*a)+ (a*-b)+ (-b*a) +(-b*-b)
tomemos en cuenta que
a*a = a²
ab=ba
ab+ab = 2ab
-ab-ab = -2ab

Continuando con el ejercicio:
(a*a)+ (a*-b)+ (-b*a) + (-b*-b)
=a² -ab -ab + b²
Este es el resultado de la multiplicación de los 2 primeros términos:

(a-b)*(a-b) = a²-2ab+b²

Ahora nos hace falta multiplicarlo por los otros dos términos iguales:

pero esos dos términos que falta al multiplicarlos nos dará el mismo resultado así que:

{(a-b)*(a-b)}*{(a-b)*(a-b)} = {a²-2ab+b²}*{a²-2ab+b²]
le agregué los paréntesis {} para hacerlo más explicito.
Ahora nuevamente se multiplican entre todos:

{a²-2ab+b²}*{a²-2ab+b²} =
(a²*a²)+(a²*-2ab)+(a²b²)+(-2ab*a²)+(-2ab*-2ab)+(-2ab*b²)+(b²*a²)+(b²*-2ab)+(b²*b²)
=a⁴-2a³b+a²b²-2a³b+4a²b²-2ab³+a²b²-2ab³+b⁴
Ahora se deben acomodar los términos iguales:
=a⁴-2a³b-2a³b-2ab³-2ab³+a²b²+a²b²+4a²b²+b⁴
Sumando los términos iguales:
=a⁴-4a³b-4ab³+6a²b²+b⁴ 
entonces (a+b)⁴ =a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴


En el caso de:
(a+b)⁴ prácticamente es lo mismo solo hay que poner cuidado con los signos:

(a+b)*(a+b)= a²+ab+ba+b²
=a²+2ab+b²

(a²+2ab+b²)*(a²+2ab+b²)
=(a²*a²)+(a²*2ab) +(a²*b²) + (2ab*a²)+ (2ab*2ab)+ (2ab*b²) +(b²*a²)+(b²*2ab)+(b²*b²)
=a⁴+2a³b+a²b²+2a³b+4a²b²+2ab³+a²b²+2ab³+b⁴
=a⁴+2a³b+2a³b+a²b²+a²b²+4a²b²+2ab³+2ab³+b⁴
=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Como puedes ver el resultado es casi idéntico con la diferencia de los signos.

Saludos....