Question

Quiero ejemplos de pendulos de torsion

Answer 1

Problema 1
Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre
el desplazamiento,
su velocidad,
su aceleración.
Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.
Solución

x=5cos(2t+π6)v=dxdt=−10sin(2t+π6)a=dvdt=−20cos(2t+π6)t=0⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=5cosπ6=53√2 cmv=−10sinπ6=−5 cm/sa=−20cosπ6=−103√ cm/s2x=5cos⁡(2t+π6)v=dxdt=−10sin⁡(2t+π6)a=dvdt=−20cos⁡(2t+π6)t=0{x=5cos⁡π6=532 cmv=−10sin⁡π6=−5 cm/sa=−20cos⁡π6=−103 cm/s2
Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s
Amplitud, A= 5 cm.

Problema 2
Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.
Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
Solución

Frecuencia angular
ω=km−−−√=43.20.3−−−−√=12 rad/sω=km=43.20.3=12 rad/s
Ecuación del M.A.S.
x=0.2sin(12t+ϕ)v=dxdt=2.4cos(12t+ϕ)x=0.2sin⁡(12t+ϕ)v=dxdt=2.4cos⁡(12t+ϕ)
En el instante t=0, x=0.1 y v<0
t=0{0.1=0.2sin(ϕ)v=2.4cos(ϕ)sinϕ=0.5{ϕ=π6  cosϕ>0  v>0ϕ=5π6  cosϕ<0  v<0t=0{0.1=0.2sin⁡(ϕ)v=2.4cos⁡(ϕ)sin⁡ϕ=0.5{ϕ=π6  cos⁡ϕ>0  v>0ϕ=5π6  cos⁡ϕ<0  v<0
La segunda solución es la que pide el enunciado del problema
x=0.2sin(12t+5π6)v=dxdt=2.4cos(12t+5π6)a=dvdt=−28.8sin(12t+5π6)x=0.2sin⁡(12t+5π6)v=dxdt=2.4cos⁡(12t+5π6)a=dvdt=−28.8sin⁡(12t+5π6)
Energías
Ek=12mv2=120.3⋅2.42cos2(12t+5π6)=0.864⋅cos2(12t+5π6)Ep=12kx2=1243.2⋅0.22sin2(12t+5π6)=0.864⋅sin2(12t+5π6)E=Ek+Ep=0.864 JEk=12mv2=120.3·2.42cos2(12t+5π6)=0.864·cos2(12t+5π6)Ep=12kx2=1243.2·0.22sin2(12t+5π6)=0.864·sin2(12t+5π6)E=Ek+Ep=0.864 J
Instantes en los que pasa por el origen
x=0.2sin(12t+5π6)=012t+5π6=nπ  t=nπ−5π/612 n=1,2,3...x=0.2sin⁡(12t+5π6)=012t+5π6=nπ  t=nπ−5π/612 n=1,2,3...

Problema 3
Un cuerpo está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar:
la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.
¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio?
Solución

ω=km−−√=52√=1.58 rad/s  P=2πω=3.97 sx=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)ω=km=52=1.58 rad/s  P=2πω=3.97 sx=Asin⁡(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos⁡(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0
t=0{0.1=Asinϕ0=Aωcosϕϕ=π2 A=0.1x=0.1sin(1.58t+π2)v=dxdt=0.158cos(1.58t+π2)t=0{0.1=Asin⁡ϕ0=Aωcos⁡ϕϕ=π2 A=0.1x=0.1sin⁡(1.58t+π2)v=dxdt=0.158cos⁡(1.58t+π2)
Pasa por primera vez por el origen x=0, v<0
1.58t+π2=π  t=0.993 s1.58t+π2=π  t=0.993 s

Problema 4
Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido a una masa de m=25 g. En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad v=−203√ cm/sv=−203 cm/s . Calcular
El periodo de la oscilación.
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad
Solución

ω=km−−√=0.40.025−−−−√=4 rad/s  P=2πω=π2 sx=Asin(4t+ϕ)v=dxdt=Aωcos(4t+ϕ)ω=km=0.40.025=4 rad/s  P=2πω=π2 sx=Asin⁡(4t+ϕ)v=dxdt=Aωcos⁡(4t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{0.05=Asinϕ−0.23√=4Acosϕϕ=5π6 A=0.1x=0.1sin(4t+5π6)v=dxdt=0.4cos(4t+5π6)a=dxdt=−1.6sin(4t+5π6)t=0{0.05=Asin⁡ϕ−0.23=4Acos⁡ϕϕ=5π6 A=0.1x=0.1sin⁡(4t+5π6)v=dxdt=0.4cos⁡(4t+5π6)a=dxdt=−1.6sin⁡(4t+5π6)
Pasa por el origen x=0,
x=0{sin(4t+5π6)=0cos(4t+5π6)=±1v=±0.4 m/s(4t+5π6)=nπ  n=1,2,3...  t=0.13, 0.91, 1.70...x=0{sin⁡(4t+5π6)=0cos⁡(4t+5π6)=±1v=±0.4 m/s(4t+5π6)=nπ  n=1,2,3...  t=0.13, 0.91, 1.70...

Problema 5
Una partícula de m=200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos que en el instante t=0, la posición inicial −0.53√ cm−0.53 cm y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s.
Escribir la ecuación del MAS
Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento.
Solución

x=Asin(100t+ϕ)v=dxdt=100Acos(100t+ϕ)x=Asin⁡(100t+ϕ)v=dxdt=100Acos⁡(100t+ϕ)
Condiciones iniciales:
t=0{−0.0053√=Asinϕ0.5=100Acosϕϕ=−π3=5π3 A=0.01x=0.01sin(100t+5π3)v=dxdt=cos(100t+5π3)a=dxdt=−100sin(100t+5π3)t=0{−0.0053=Asin⁡ϕ0.5=100Acos⁡ϕϕ=−π3=5π3 A=0.01x=0.01sin⁡(100t+5π3)v=dxdt=cos⁡(100t+5π3)a=dxdt=−100sin⁡(100t+5π3)
Constante del muelle
ω=km−−−√  100=k0.2−−−√  k=2000 N/mω=km  100=k0.2  k=2000 N/m
Energía del movimiento
E=12kA2=122000⋅0.012=0.1 J