Question

ejercicios de trayectorias ortogonales

Answer 1

1.  Determinar las trayectorias ortogonales de:
(a)(a) La familia de parábolas y=ax2y=ax2.
(b)(b) La familia de circunferencias x2+y2−2ax=0x2+y2−2ax=0.
2.  Hallar la familia de trayectorias oblicuas que corta a la familia de rectas y=axy=axformando un ángulo de π/4π/4.

Solución
1.  (a)(a) Derivando obtenemos y′=2axy′=2ax y eliminando aa queda la ecuación y′=2y/xy′=2y/x. Sustituyendo en esta ecuación y′y′ por −1/y′−1/y′ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: −1/y′=2y/x−1/y′=2y/x, o bien xdx+2ydy=0xdx+2ydy=0. Integrando, obtenemos la familia de elipses:

x2+y2/2=C(C>0).x2+y2/2=C(C>0).(b)(b) Derivando obtenemos 2x+2yy′−2a=02x+2yy′−2a=0. Eliminando aa queda la ecuación y2−x2−2xyy′=0y2−x2−2xyy′=0, que es homogénea. Efectuando el cambio y=vxy=vx, dividiendo entre x2x2 y ordenando términos la ecuación se transforma endxx+2vv2+1=0.dxx+2vv2+1=0.Integrando,log|x|+log|v2+1|=K,log|x(v2+1)|=K,x(v2+1)=C.log⁡|x|+log⁡|v2+1|=K,log⁡|x(v2+1)|=K,x(v2+1)=C.Sustituyendo v=y/xv=y/x obtenemos la familia de circunferenciasx2+y2−Cx=0.x2+y2−Cx=0.

2.  Tenemos m=tan(π/4)=1m=tan⁡(π/4)=1. Derivando obtenemos y′=ay′=a y eliminando aa queda la ecuación y=y′xy=y′x. Sustituyendo en esta ecuación y′y′ por (y′−1)/(1+y′)(y′−1)/(1+y′) obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: y(1+y′)=(y′−1)xy(1+y′)=(y′−1)x.

Esta ecuación se puede escribir en la forma (x+y)dx+(y−x)dx=0(x+y)dx+(y−x)dx=0 que es homogénea. Efectuando el cambio y=vxy=vx, dividiendo entre xx y ordenando términos la ecuación se transforma en

dxx+(v−1)dvv2+1=0.dxx+(v−1)dvv2+1=0.Integrando obtenemos log|x|+(1/2)log(v2+1)−arctanv=log|C|log⁡|x|+(1/2)log⁡(v2+1)−arctan⁡v=log⁡|C| o de forma equivalente logC2x2(v2+1)−2arctanv=0log⁡C2x2(v2+1)−2arctan⁡v=0. Sustituyendo v=y/xv=y/x obtenemos la familia de las trayectorias oblicuas pedidalogC2(x2+y2)−2arctanyx=0.
espero que te sirva