Question

En el circuito que se ilustra en la figura, cada capacitor tiene inicialmente una carga de magnitud 3.50 nC en sus placas. Después de que el interruptor S se cierra, ¿cuál será la corriente en el circuito en el instante en que los capacitores hayan perdido el 80.0% de su energía almacenada inicialmente?

Answer 1

En el instante en que los capacitores hayan perdido el 80.0% de su energía almacenada inicialmente la corriente en el circuito será de 13.56 A

Se trata de un circuito RC, donde tenemos resistencias y capacitores. Hallemos el capacitor equivalente sabiendo que los capacitores en serie cumplen la relación:

$C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dfrac{1}{C_3}}\\\\C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{10\cdot10^{-12}}+\dfrac{1}{20\cdot10^{-12}}+\dfrac{1}{15\cdot10^{-12}F}}\\\\\\C = 4.62\cdot10^{-12}F\\\\\boxed{C=4.62\;pF}$

Sabemos que la energía almacenada en los capacitores es E= Q²/2C y que la carga Q está dada por $Q=Q_0e^{-t/RC}$ y que la corriente tiene la forma $I=I_0e^{-t/RC}$.

Sustituyendo Q en E:

$E=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{(Q_0e^{-t/RC})^2}{2C}=\dfrac{Q_0e^{-2t/RC}}{2C}$

pero Q₀ entre 2C es la energía inicial del capacitor, por tanto:

$E=\dfrac{Q_0e^{-2t/RC}}{2C}=E_oe^{-2t/RC}$

Cuando el capacitor pierde el 80% de su energía, la energía almacenada será el 20% de la energía inicial,es decir, la energía será E₀/5 en ese instante. Calculamos el tiempo en que esto ocurre:

$E=E_oe^{-2t/RC}\\\\E_0/5 = E_oe^{-2t/RC}\\\\0.2 = e^{-2t/RC}\\\\e^{-2t/RC} = 0.2\\\\-2t/RC = \ln0.2\\\\t = \dfrac{RC\ln0.2}{2} \\\\t = -\dfrac{25\cdot4.62\cdot10^{-12}\cdot\ln0.2}{2} \\\\t = 9.29\cdot10^{-11} = 92.9\;ps$

Finalmente calculamos la corriente usando:

$I=I_0e^{-t/RC} = \dfrac{Q_0}{RC}e^{-t/RC} \\\\I = \dfrac{3.5\cdot10^{-9}}{25\cdot4.62\cdot10^{-12}}e^{-9.29\cdot10^{-11}/(25\cdot4.62\cdot10^{-12})}\\\\I = 13.56\;A$

R/ En el instante en que los capacitores hayan perdido el 80.0% de su energía almacenada inicialmente la corriente en el circuito será de 13.56 A