Question

Hallar el ángulo según el cual la curva: y =1/3 sin(3x), corta al eje x

Answer 1

Ángulo de la curva: y =f(x) con OX en los puntos en que corta a OX.

                                    $\displaystyle\ f(x) = \frac{1}{3} sin(3x)$

Cálculo de los puntos de corte de la función y el eje OX (en el primer ciclo):

Para f(x) = 0,

                                       $\displaystyle\ \frac{1}{3} sin(3x) = 0$

                                      $\displaystyle\ sin(3x) = 0$

                                      $\displaystyle\ 3x =0, \ 3x=\pi \ rad.,$

                                     $\displaystyle\ x=0, \ \ x = \frac{\pi}{3}$

Luego los puntos de corte son

                                      $\boxed {\displaystyle\ (0,0), \ (\frac{\pi}{3} ,0)}$

Derivada de la función

                                     $\displaystyle\ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot cos(3x) = cos(3x)$

Tangente del ángulo en los puntos de corte:

Para x = 0,

                                   $\displaystyle\ f'(0) = cos(3\cdot0) = cos(0) = 1$

Luego el ángulo es

                                   $\displaystyle\ arctang(1) = \frac{\pi}{4} \ rad. \ \ o \ \ 45\º$

Para x = π/3,

                                  $\displaystyle\ f'(\frac{\pi}{3} ) = cos(3\cdot \frac{\pi}{3}) = cos(\pi) = -1$

Luego el ángulo es

                                 $\displaystyle\ arctang(-1) = \frac{3\pi}{4} \ rad. \ \ o \ \ 135\º$

Y los ángulos pedidos son

                                       $\boxed{\boxed{\displaystyle\ \frac{\pi}{4} \ rad., \ \ \frac{3\pi}{4} \ rad. }}$

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