Question

¿Cómo se le aplicaría a los números complejos las cuatro operaciones básicas matemáticas?

Tomando como ejemplo el siguiente ejercicio:

Z1 = ( √8 ; 1/4 i)
Z2= (√5 ; 3/4)

Ayuda:(

Answer 1

Hola, en principio lo que puedes saber de forma fácil y rápida es que nos números complejos están formados por una parte real y otra parte imaginaria. Por ejemplo z=3+5i
La parte real es: 3
La parte imaginaria es: 5i
Los números reales se representan en un solo eje, normalmente es el eje "x". Pero para representar un número complejo necesitas dos ejes, como cuando te piden marcar un punto en una coordenada. En este caso representas el número 3 en el eje "x" y el número 5i lo representas en el eje "y". 
En matemáticas siempre podemos resolver raíces de números positivos, pero no raíces de números negativos. Por ejemplo:
$x^{2}=9$
Esta ecuación tiene 2 soluciones:
1) $(3)^{2}=9$
2) $(-3)^{2}=9$

Pero qué pasa cuando tenemos la ecuación:
$x^{2}=-9$

No existe un número que elevado al cuadrado nos de como resultado -9
Entonces si despejamos a x, tendremos la raíz de un número negativo y no podemos obtener la solución.
Es aquí cuando se introduce el concepto de "número imaginario".
el número imaginario i se define así:
$i=\sqrt{-1}$

Si elevamos i al cuadrado, al cubo etc. tendremos:
$i^{2}= (\sqrt{-1} )^{2}=-1$

$i^{3}=( \sqrt{-1} )^{3}= (\sqrt{-1})^{2})(\sqrt{-1})=-i$

$i^{4}=(\sqrt{-1})^{4} =( \sqrt{-1})^{2}( \sqrt{-1})^{2}=(-1)(-1)=1$

y así sucesivamente.

Para aplicar las operaciones básica de matemáticas a los número complejos debemos de recordar que los números complejos están compuestos por dos partes que no podemos mezclar, la parte real y la parte imaginaria.
Suma:
z1=3+5i
z2=2-4i
z1+z2=(3+2) + (5i+(-4i))
z1+z1=5 + (5i-4i)
z1+z2=5 + 1i
z1+z2=5 + i

Resta:
z1=3+5i
z2=2-4i
z1-z2=(3-2) + (5i - (-4i))
z1-z2=1 + (5i + 4i)
z1-z2= 1 + 9i

Multiplicación
z1=3+5i
z2=2-4i
z1*z2=(3+5i)(2-4i)=(3*2)+(3*(-4i))+(5i*2)+(5i*(-4i))
z1*z2=$6+(-12i)+(10i)+(-20i^{2})$
z1*z2=$6+(-12i)+(10i)+(-20(-1))$
z1*z2=$6+(-12i)+(10i)+(20)$
Y resolvemos, se suman partes reales con partes reales y partes imaginarias con partes imaginarias:
z1*z2=(6+20)+(-12i+10i)
z1*z2=26+(-2i)
z1*z2=26-2i

División:
z1=3+5i
z2=2-4i
z1/z2=$\frac{3+5i}{2-4i}$
Primero hay que recordar qué es un binomio conjugado: si tenemos el número complejo 3+5i, su conjugado es: 3-5i, es decir, el conjugado de un número complejo es el mismo número pero invertimos el signo de la parte imaginaria. ¿Por qué es especial el conjugado de un número?. Si multiplicamos un numero por su conjugado, veremos que nos deshacemos de la parte imaginaria:
(3+5i)(3-5i)=(3*3)+(3*(-5i))+(5i*3)+(5i*(-5i))
(3+5i)(3-5i)=$9+(-15i)+(15i)+(-25i^{2})$
(3+5i)(3-5i)=$9-15i+15i+(-25(-1))$
(3+5i)(3-5i)=$9-15i+15i+25$
(3+5i)(3-5i)=$9+25=34$
En pocas palabras, el resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es: 
$(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

Sabemos que cualquier número dividido entre sí mismo, da como resultado 1.

Entonces para resolver la división de números complejos vamos a multiplicar la fracción por un 1, pero ese 1 lo vamos a escribir de forma "especial". 
$\frac{3+5i}{2-4i}* \frac{2+4i}{2+4i}$

Al multiplicar nuestra fracción por 1, la fracción no se altera. El propósito de multiplicar la fracción por este uno "especial" es poder quitar la parte compleja del denominador, con lo cual podremos escribir el resultado de la operación separando CLARAMENTE la parte real de la imaginaria.
Resolviendo la división:
$\frac{3+5i}{2-4i}* \frac{2+4i}{2+4i} = \frac{(3+5i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)}$

$\frac{(3+5i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)}= \frac{(3*2)+(3*4i)+(5i*2)+(5i*4i)}{2^{2}+4^{2}} =\frac{6+12i+10i+(20i^{2})}{4+16}$

$\frac{6+12i+10i+(20(-1))}{20} = \frac{6+22i+(-20)}{20}= \frac{6+22i-20}{20}= \frac{-14+22i}{20}$

$\frac{-14+22i}{20} =-\frac{14}{20} + \frac{22i}{20}$

Y éste es el resultado final de la división z1 entre z2.

Te recomiendo buscar en google "operaciones con números complejos" hay páginas y videos que lo explican ampliamente, necesitas buscar más información de la que yo te di.