Question

3. Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe, presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del límite y el paso a paso del desarrollo analítico del ejercicio.

Answer 1

El valor del límite al infinito es :    Lim ⁵√5x+2/⁵√160x  = 1/2

                                                          x→∞

  El resultado de un límite al infinito se calcula mediante la aplicación del criterio de la sustitución de la incógnita x por ∞ y al resolver como se obtiene ∞/∞ se procede a dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de la variable x, de la siguiente manera :

   

 Lim ⁵√5x+2/⁵√160x =   ⁵√5*∞+2/⁵√160*∞ = ⁵√ ∞/∞   = ∞/∞

  x→∞

 

   Lim ⁵√5x+2/⁵√160x  =  Lim ⁵√(5x/x+2/x)/⁵√160x/x =

  x→∞                                x→∞

  Lim ⁵√(5+2/x)/⁵√160 =   ⁵√(5+2/∞)/⁵√160 = ⁵√5/⁵√160 = 1/2

  x→∞

Answer 2

Lo primero para calcular el límite al infinito calculamos su indeterminada

El límite es :

$\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt[5]{5x + 2} }{ \sqrt[5]{160x} }$

Hay que decir que el infinito es un número muy grande y imposible de saber su valor original por eso de llaman infinito

Sustituyes el valor de x por el valor de ∞ entonces la indeterminada de infinito es :

$\lim_{x\to \infty} \frac{ \sqrt[5]{5( \infty )+ 2} }{ \sqrt[5]{160( \infty )} } = \frac{ \infty } {\infty }$

Si quieres obtener el resultado del límite buscamos el grado mayor de la incógnita x y con el grado trataremos de eliminar los valores posibles

El mayor grado es x

$\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt[5]{ \frac{5x}{x} + \frac{2}{x} } }{ \sqrt[5]{ \frac{160x}{x} } }$

Eliminamos las incógnitas que se pueden eliminar y las que no se pueden son igual a 0

$\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt[5]{5} }{ \sqrt[5]{160} }$

El último paso es obtener las raíces de cada uno entonces el valor del límite es igual a:

$\lim_{x\to \infty } \frac{1}{2}$