Como se haría la integral ctg^2(x)*csc(x) dx

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Respuesta dada por: judagazu
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\int \cot ^2\left(x\right)\csc \left(x\right)dx
Se aplica la integración por sutitución:
=\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{4u^3}du
Sacamos la constante:
=\frac{1}{4}\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{u^3}du
Expandimos:
=\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{u^3}+u-\frac{2}{u}\right)du
Aplicamos la regla de la suma:
=\frac{1}{4}\left(\int \frac{1}{u^3}du+\int \:udu-\int \frac{2}{u}du\right)
Tomamos:
\int \frac{1}{u^3}du
Aplicamos la regla de la suma y simplificamos:
=-\frac{1}{2u^2}
Tomamos:
\int \:udu
Aplicamos la regla de la potencia y simplificamos:
=\frac{u^2}{2}
Tomamos:
\int \frac{2}{u}du
Sacamos la constante y aplicamos la regla de la integración:
=2\ln \left|u\right|
Juntamos todo:
=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2u^2}+\frac{u^2}{2}-2\ln \left|u\right|\right)
Sutituimos en u:
=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2}-2\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|\right)
Simplificamos y agregamos un constante:
=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}\cot ^2\left(\frac{x}{2}\right)-2\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|\right)+C



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