b) Un edificio proyecta una sombra de 950m cuando el ángulo de elevación de los rayos solares es de
25º. Hallar la altura del edificio.
Respuestas
Respuesta:
Definición ángulo de Elevación. Si un objeto esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.
Definición ángulo de Depresión: Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.
Nota: Los ángulos de elevación y de depresión son congruentes entre rectas paralelas que simulan la línea del horizonte.
Ejemplo 1. Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15. ¿A que distancia del faro está la embarcación?
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triángulo que se forma con los datos del problema. Aunque el problema viene con un ángulo de depresión de 15, por la nota anterior el ángulo de elevación mide lo mismo.
A partir de aquí hacemos uso de la relación tangente:
tan 15 =120
x
x =120
tan 15
x = 448
Respuesta: la distancia del barco al faro es entonces, aproximadamente de 448 metros.
Ejemplo 2. Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de un observador al extremo superior del mismo es 32. La distancia del observador a la cúspide es de 87 metros.
Solución: Dibujando el triángulo. Usando la relación seno:
sen 32 = x
87
x = 87 sen 32
x = 46
Respuesta: la altura del árbol es de aproximadamente 46 metros.
Ejemplo 3. La distancia de un observador a la azotea de un edificio es de 169 metros y el ángulo de elevación que se forma es 24. Hallar la distancia del observador a la base del edificio.
Solución: El dibujo correspondiente. Usaremos la relación coseno:
cos 24 = x
169
x = 169 cos 24
x = 154
La distancia buscada es de 154 metros aproximadamente. La pregunta más común a estas alturas es ¿cómo saber cual de las relaciones: seno, coseno o tangente uso en cada problema?
Daremos una regla práctica que de ninguna manera es general ya que existen varias formas de resolver estos mismos ejercicios.
Por ultimo remarcamos el hecho de hacer un dibujo del triángulo que se forma con los datos del problema, con esto queda clara la relación que se utilizará.
1. Si el problema involucra los catetos adyacente y opuesto, es decir; si se conoce la
medida de un cateto y hay que hallar el otro se, debe usar la tangente.
2. Si el problema involucra un cateto y la hipotenusa, es decir; se conoce la longitud de la hipotenusa y se pide la del cateto o viceversa, dependiendo del cateto involucrado se tiene:
i. si el cateto es el opuesto, entonces es seno.
ii. si el cateto es el adyacente, entonces es coseno.
Ejercicios
1. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57. Calcular la altura de la torre.
R/207,88.