Question

un proyectil se dispara desde el extremo de un risco a 125 m sobre el nivel del suelo, con una rapidez inicial de 65 m/s y un angulo de 37° con respecto a la horizontal
a) determine el tiempo que le toma al proyectil golpear el punto p a nivel del suelo
b)determine el rango x del proyectil medido desde la base del risco
En el instante justo antes de que el proyectl golpee el punto p, encuentre:
c) las componentes horizontal y vertical de la velocidad
d)la magnitud de la velocidad
e)el angulo formado por el vector de velocidad con respecto a la horizontal
f)encuentre la altura maxima sobre lo alto del risco

Answer 1

Si tomamos como referencia el punto de lanzamiento en la parte superior del risco y consideramos positivos los sentidos "arriba" y "derecha", podemos escribir las ecuaciones del movimiento como:

$v_{0x} = v_0\cdot cos\ 37\\ v_{0y} = v_0\cdot sen\ 37$

$v_x = v_{0x} = v_0\cdot cos\ 37\\ v_y = v_0\cdot sen\ 37 - gt$

$x = v_0\cdot t\cdot cos\ 37\\ y = v_0\cdot t\cdot sen\ 37 - \frac{1}{2}gt^2$

a) Para determinar el tiempo que tarda en impactar con el suelo debemos considerar que la posición del proyectil es -125 m. Es negativo porque está por debajo del punto de lanzamiento:

$-125 = 65\cdot sen\ 37\cdot t - 4,9t^2\ \to\ 4,9t^2 - 39,11t - 125 = 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos un único valor positivo del tiempo, que es el valor que tiene significado físico: t = 10,43 s.

b) El alcance del proyectil será:

$x = 65\frac{m}{s}\cdot 10,43\ s\cdot cos\ 37 = \bf 567,39\ m$

c) Las componentes de la velocidad en ese instante son:

$v_x = 65\frac{m}{s}\cdot cos\ 37 = \bf 51,91\frac{m}{s}\\ v_y = 65\frac{m}{s}\cdot sen\ 37 - 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 10,43\ s = \bf -63,10\frac{m}{s}$

La componente vertical es negativa porque el proyectil está descendiendo en el momento de alcanzar el suelo.

d) El módulo de la velocidad:

$v = \sqrt{(v_x^2 + v_y^2)} = \sqrt{(51,91^2 + 63,10^2)\frac{m^2}{s^2}} = \bf 81,71\frac{m}{s}$

e) El ángulo que forma la velocidad con la horizontal será el arcocoseno del cociente entre la componente "x" de la velocidad y el módulo de ésta:

$cos\ \alpha = \frac{v_x}{v}\ \to\ \alpha = \arccos\frac{51,91\frac{m}{s}}{81,71\frac{m}{s}} = \bf 50,56^\circ$

f) Volvemos al punto de referencia, que es el punto de lanzamiento, y hacemos nula la velocidad en el eje "y", que será cuando el proyectil deje de ascender. El tiempo durante el que sube el proyectil es:

$v_y  = 0\ \to\ t_s = \frac{v_0\cdot sen\ 37}{g} = \frac{39,11\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} = 3,99\ s$

La posición del proyectil en ese instante es:

$y = 39,11\frac{m}{s}\cdot 3,99\ s - 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 3,99^2\ s^2 = \bf 78,04\ m$

El proyectil alcanzará 78,04 m de altura sobre el punto de lanzamiento. Si lo referimos al suelo, la altura máxima sería de 203,04 m.